Theorem shftfval 6279

Description: The value of the sequence shifter operation is a function on CC. A is ordinarily an integer.

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
shftfval	|- (A e. B -> (F shift A) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))})

Distinct variable groups:   x,y,A   x,F,y   x,B,y

Proof of Theorem shftfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. 2 |- F e. V
2		axcnex 5239	. . . 4 |- CC e. V
3	2	opabex2 3596	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))} e. V
4		fveq1 3708	. . . . . 6 |- (f = F -> (f` (x - w)) = (F` (x - w)))
5	4	eqeq2d 1478	. . . . 5 |- (f = F -> (y = (f` (x - w)) <-> y = (F` (x - w))))
6	5	anbi2d 614	. . . 4 |- (f = F -> ((x e. CC /\ y = (f` (x - w))) <-> (x e. CC /\ y = (F` (x - w)))))
7	6	opabbidv 2660	. . 3 |- (f = F -> {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (f` (x - w)))} = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - w)))})
8		opreq2 3954	. . . . . . 7 |- (w = A -> (x - w) = (x - A))
9	8	fveq2d 3713	. . . . . 6 |- (w = A -> (F` (x - w)) = (F` (x - A)))
10	9	eqeq2d 1478	. . . . 5 |- (w = A -> (y = (F` (x - w)) <-> y = (F` (x - A))))
11	10	anbi2d 614	. . . 4 |- (w = A -> ((x e. CC /\ y = (F` (x - w))) <-> (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))))
12	11	opabbidv 2660	. . 3 |- (w = A -> {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - w)))} = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))})
13		df-shft 6278	. . 3 |- shift = {<.<.f, w>., g>. | g = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (f` (x - w)))}}
14	3, 7, 12, 13	oprabval5 4014	. 2 |- ((F e. V /\ A e. B) -> (F shift A) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))})
15	1, 14	mpan 693	1 |- (A e. B -> (F shift A) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  {copab 2656  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204   - cmin 5264   shift cshi 6277

This theorem is referenced by:  shftfn 6280  shftvalt 6283  2shft 6289

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-qs 4250  df-ni 4972  df-nq 5010  df-np 5058  df-nr 5139  df-c 5212  df-shft 6278

Copyright terms: Public domain