Theorem shftfn 6344

Description: Functionality and domain of a sequence shifted by A.

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
shftfn	|- (A e. B -> (F shift A) Fn CC)

Proof of Theorem shftfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3738	. . 3 |- (F` (x - A)) e. V
2		eqid 1478	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))} = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))}
3	1, 2	fnopab2 3624	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))} Fn CC
4		shftfval.1	. . . 4 |- F e. V
5	4	shftfval 6343	. . 3 |- (A e. B -> (F shift A) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))})
6		fneq1 3588	. . 3 |- ((F shift A) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))} -> ((F shift A) Fn CC <-> {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))} Fn CC))
7	5, 6	syl 10	. 2 |- (A e. B -> ((F shift A) Fn CC <-> {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))} Fn CC))
8	3, 7	mpbiri 194	1 |- (A e. B -> (F shift A) Fn CC)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  {copab 2671   Fn wfn 3183  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244   - cmin 5304   shift cshi 6341

This theorem is referenced by:  shftres 6345  seqzfn 6540  seq0fn 6547  climshft2 7106

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-qs 4272  df-ni 5012  df-nq 5050  df-np 5098  df-nr 5179  df-c 5252  df-shft 6342

Copyright terms: Public domain