Theorem shaddclt 9085

Description: Closure of vector addition in a subspace of a Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
shaddclt	|- ((H e. SH /\ A e. H /\ B e. H) -> (A +h B) e. H)

Proof of Theorem shaddclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3968	. . . . 5 |- (x = A -> (x +h y) = (A +h y))
2	1	eleq1d 1540	. . . 4 |- (x = A -> ((x +h y) e. H <-> (A +h y) e. H))
3		opreq2 3969	. . . . 5 |- (y = B -> (A +h y) = (A +h B))
4	3	eleq1d 1540	. . . 4 |- (y = B -> ((A +h y) e. H <-> (A +h B) e. H))
5	2, 4	rcla42v 1880	. . 3 |- ((A e. H /\ B e. H) -> (A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H -> (A +h B) e. H))
6		sh 9078	. . . . 5 |- (H e. SH <-> ((H (_ H~ /\ 0h e. H) /\ (A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H /\ A.x e. CC A.y e. H (x .h y) e. H)))
7	6	pm3.27bi 326	. . . 4 |- (H e. SH -> (A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H /\ A.x e. CC A.y e. H (x .h y) e. H))
8	7	pm3.26d 321	. . 3 |- (H e. SH -> A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H)
9	5, 8	syl5com 52	. 2 |- (H e. SH -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A +h B) e. H))
10	9	3impib 831	1 |- ((H e. SH /\ A e. H /\ B e. H) -> (A +h B) e. H)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047  (class class class)co 3963  CCcc 5232  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790  0hc0v 8791  SHcsh 8797

This theorem is referenced by:  shsubclt 9089  hhssabl 9132  hhssnv 9134  shintcl 9293

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965  df-sh 9076

Copyright terms: Public domain