Theorem setind 4648

Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21.

Assertion

Ref	Expression
setind	|- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> A = V)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem setind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 2082	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x (_ A <-> y (_ A))
2		eleq1 1534	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x e. A <-> y e. A))
3	1, 2	imbi12d 626	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ((x (_ A -> x e. A) <-> (y (_ A -> y e. A)))
4	3	a4v 1272	. . . . . . 7 |- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> (y (_ A -> y e. A))
5		ssindif0 2322	. . . . . . 7 |- (y (_ A <-> (y i^i (V \ A)) = (/))
6	4, 5	syl5ibr 207	. . . . . 6 |- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> ((y i^i (V \ A)) = (/) -> y e. A))
7		eldifn 2163	. . . . . 6 |- (y e. (V \ A) -> -. y e. A)
8	6, 7	nsyli 121	. . . . 5 |- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> (y e. (V \ A) -> -. (y i^i (V \ A)) = (/)))
9	8	imp 350	. . . 4 |- ((A.x(x (_ A -> x e. A) /\ y e. (V \ A)) -> -. (y i^i (V \ A)) = (/))
10	9	nrexdv 1730	. . 3 |- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> -. E.y e. (V \ A)(y i^i (V \ A)) = (/))
11		zfregs 4647	. . . 4 |- ((V \ A) =/= (/) -> E.y e. (V \ A)(y i^i (V \ A)) = (/))
12	11	necon1bi 1609	. . 3 |- (-. E.y e. (V \ A)(y i^i (V \ A)) = (/) -> (V \ A) = (/))
13	10, 12	syl 10	. 2 |- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> (V \ A) = (/))
14		vdif0 2328	. 2 |- (A = V <-> (V \ A) = (/))
15	13, 14	sylibr 200	1 |- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> A = V)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  Vcvv 1811   \ cdif 2044   i^i cin 2046   (_ wss 2047  (/)c0 2280

This theorem is referenced by:  setind2 4649  tz9.13 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932

Copyright terms: Public domain