Theorem ser1recl 6268

Description: The partial sums in an infinite series of real terms are real.

Hypothesis

Ref	Expression
ser1recl.1	|- F:NN-->RR

Assertion

Ref	Expression
ser1recl	|- (A e. NN -> (( + seq1 F)` A) e. RR)

Proof of Theorem ser1recl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3709	. . 3 |- (x = 1 -> (( + seq1 F)` x) = (( + seq1 F)` 1))
2	1	eleq1d 1532	. 2 |- (x = 1 -> ((( + seq1 F)` x) e. RR <-> (( + seq1 F)` 1) e. RR))
3		fveq2 3709	. . 3 |- (x = y -> (( + seq1 F)` x) = (( + seq1 F)` y))
4	3	eleq1d 1532	. 2 |- (x = y -> ((( + seq1 F)` x) e. RR <-> (( + seq1 F)` y) e. RR))
5		fveq2 3709	. . 3 |- (x = (y + 1) -> (( + seq1 F)` x) = (( + seq1 F)` (y + 1)))
6	5	eleq1d 1532	. 2 |- (x = (y + 1) -> ((( + seq1 F)` x) e. RR <-> (( + seq1 F)` (y + 1)) e. RR))
7		fveq2 3709	. . 3 |- (x = A -> (( + seq1 F)` x) = (( + seq1 F)` A))
8	7	eleq1d 1532	. 2 |- (x = A -> ((( + seq1 F)` x) e. RR <-> (( + seq1 F)` A) e. RR))
9		addex 5289	. . . 4 |- + e. V
10		ser1recl.1	. . . . 5 |- F:NN-->RR
11		nnex 5881	. . . . 5 |- NN e. V
12		fex 3637	. . . . 5 |- ((F:NN-->RR /\ NN e. V) -> F e. V)
13	10, 11, 12	mp2an 695	. . . 4 |- F e. V
14	9, 13	seq11 6254	. . 3 |- (( + seq1 F)` 1) = (F` 1)
15		1nn 5882	. . . 4 |- 1 e. NN
16		ffvelrn 3799	. . . 4 |- ((F:NN-->RR /\ 1 e. NN) -> (F` 1) e. RR)
17	10, 15, 16	mp2an 695	. . 3 |- (F` 1) e. RR
18	14, 17	eqeltr 1536	. 2 |- (( + seq1 F)` 1) e. RR
19		axaddrcl 5244	. . . . 5 |- (((( + seq1 F)` y) e. RR /\ (F` (y + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 F)` y) + (F` (y + 1))) e. RR)
20		peano2nn 5883	. . . . . 6 |- (y e. NN -> (y + 1) e. NN)
21	10	ffvelrni 3800	. . . . . 6 |- ((y + 1) e. NN -> (F` (y + 1)) e. RR)
22	20, 21	syl 10	. . . . 5 |- (y e. NN -> (F` (y + 1)) e. RR)
23	19, 22	sylan2 451	. . . 4 |- (((( + seq1 F)` y) e. RR /\ y e. NN) -> ((( + seq1 F)` y) + (F` (y + 1))) e. RR)
24	9, 13	seq1p1 6255	. . . . . 6 |- (y e. NN -> (( + seq1 F)` (y + 1)) = ((( + seq1 F)` y) + (F` (y + 1))))
25	24	eleq1d 1532	. . . . 5 |- (y e. NN -> ((( + seq1 F)` (y + 1)) e. RR <-> ((( + seq1 F)` y) + (F` (y + 1))) e. RR))
26	25	adantl 388	. . . 4 |- (((( + seq1 F)` y) e. RR /\ y e. NN) -> ((( + seq1 F)` (y + 1)) e. RR <-> ((( + seq1 F)` y) + (F` (y + 1))) e. RR))
27	23, 26	mpbird 196	. . 3 |- (((( + seq1 F)` y) e. RR /\ y e. NN) -> (( + seq1 F)` (y + 1)) e. RR)
28	27	expcom 374	. 2 |- (y e. NN -> ((( + seq1 F)` y) e. RR -> (( + seq1 F)` (y + 1)) e. RR))
29	2, 4, 6, 8, 18, 28	nnind 5885	1 |- (A e. NN -> (( + seq1 F)` A) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205  1c1 5207   + caddc 5209  NNcn 5268   seq1 cseq1 6244

This theorem is referenced by:  ser1ref 6269  ser1mono 6274  ser1absdiflem 6866  ser1cmp 7110  ser1cmp2lem 7112  ser1cmp2 7113  cvgcmp2lem 7116  cvgcmpub 7121  cvgcmp3c 7122

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245

Copyright terms: Public domain