Theorem seq1seqz 6473

Description: The 1-based recursive sequence in terms of the arbitrary-based one.

Hypotheses

Ref	Expression
seq0val.1	|- S e. V
seq0val.2	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
seq1seqz	|- (S seq1 F) = (<.1, S>. seq F)

Proof of Theorem seq1seqz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq0val.1	. . . . . . 7 |- S e. V
2		oprex 3968	. . . . . . 7 |- (F shift 0) e. V
3	1, 2	seq1fn 6257	. . . . . 6 |- (S seq1 (F shift 0)) Fn NN
4		0cn 5300	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
5		nnsscn 5876	. . . . . . 7 |- NN (_ CC
6		oprex 3968	. . . . . . . 8 |- (S seq1 (F shift 0)) e. V
7	6	shftres 6281	. . . . . . 7 |- ((0 e. CC /\ NN (_ CC) -> (((S seq1 (F shift 0)) shift 0) |` NN) Fn NN)
8	4, 5, 7	mp2an 695	. . . . . 6 |- (((S seq1 (F shift 0)) shift 0) |` NN) Fn NN
9		eqfnfv 3782	. . . . . 6 |- (((S seq1 (F shift 0)) Fn NN /\ (((S seq1 (F shift 0)) shift 0) |` NN) Fn NN) -> ((S seq1 (F shift 0)) = (((S seq1 (F shift 0)) shift 0) |` NN) <-> (NN = NN /\ A.k e. NN ((S seq1 (F shift 0))` k) = ((((S seq1 (F shift 0)) shift 0) |` NN)` k))))
10	3, 8, 9	mp2an 695	. . . . 5 |- ((S seq1 (F shift 0)) = (((S seq1 (F shift 0)) shift 0) |` NN) <-> (NN = NN /\ A.k e. NN ((S seq1 (F shift 0))` k) = ((((S seq1 (F shift 0)) shift 0) |` NN)` k)))
11		eqid 1468	. . . . 5 |- NN = NN
12		fvres 3719	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> ((((S seq1 (F shift 0)) shift 0) |` NN)` k) = (((S seq1 (F shift 0)) shift 0)` k))
13		nncnt 5878	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> k e. CC)
14	6	shftidt 6292	. . . . . . . 8 |- (k e. CC -> (((S seq1 (F shift 0)) shift 0)` k) = ((S seq1 (F shift 0))` k))
15	13, 14	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (((S seq1 (F shift 0)) shift 0)` k) = ((S seq1 (F shift 0))` k))
16	12, 15	eqtr2d 1500	. . . . . 6 |- (k e. NN -> ((S seq1 (F shift 0))` k) = ((((S seq1 (F shift 0)) shift 0) |` NN)` k))
17	16	rgen 1690	. . . . 5 |- A.k e. NN ((S seq1 (F shift 0))` k) = ((((S seq1 (F shift 0)) shift 0) |` NN)` k)
18	10, 11, 17	mpbir2an 728	. . . 4 |- (S seq1 (F shift 0)) = (((S seq1 (F shift 0)) shift 0) |` NN)
19		ax1cn 5241	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
20	19	subid 5363	. . . . . . . 8 |- (1 - 1) = 0
21	20	opreq2i 3957	. . . . . . 7 |- (F shift (1 - 1)) = (F shift 0)
22	21	opreq2i 3957	. . . . . 6 |- (S seq1 (F shift (1 - 1))) = (S seq1 (F shift 0))
23	22, 20	opreq12i 3958	. . . . 5 |- ((S seq1 (F shift (1 - 1))) shift (1 - 1)) = ((S seq1 (F shift 0)) shift 0)
24		reseq1 3352	. . . . 5 |- (((S seq1 (F shift (1 - 1))) shift (1 - 1)) = ((S seq1 (F shift 0)) shift 0) -> (((S seq1 (F shift (1 - 1))) shift (1 - 1)) |` NN) = (((S seq1 (F shift 0)) shift 0) |` NN))
25	23, 24	ax-mp 7	. . . 4 |- (((S seq1 (F shift (1 - 1))) shift (1 - 1)) |` NN) = (((S seq1 (F shift 0)) shift 0) |` NN)
26	18, 25	eqtr4 1490	. . 3 |- (S seq1 (F shift 0)) = (((S seq1 (F shift (1 - 1))) shift (1 - 1)) |` NN)
27		seq0val.2	. . . 4 |- F e. V
28	1, 27	seq1shftid 6293	. . 3 |- (S seq1 (F shift 0)) = (S seq1 F)
29		nnzrab 6104	. . . 4 |- NN = {k e. ZZ | 1 <_ k}
30		reseq2 3353	. . . 4 |- (NN = {k e. ZZ | 1 <_ k} -> (((S seq1 (F shift (1 - 1))) shift (1 - 1)) |` NN) = (((S seq1 (F shift (1 - 1))) shift (1 - 1)) |` {k e. ZZ | 1 <_ k}))
31	29, 30	ax-mp 7	. . 3 |- (((S seq1 (F shift (1 - 1))) shift (1 - 1)) |` NN) = (((S seq1 (F shift (1 - 1))) shift (1 - 1)) |` {k e. ZZ | 1 <_ k})
32	26, 28, 31	3eqtr3 1495	. 2 |- (S seq1 F) = (((S seq1 (F shift (1 - 1))) shift (1 - 1)) |` {k e. ZZ | 1 <_ k})
33	1, 27	seqzfval 6469	. . 3 |- (1 e. CC -> (<.1, S>. seq F) = (((S seq1 (F shift (1 - 1))) shift (1 - 1)) |` {k e. ZZ | 1 <_ k}))
34	19, 33	ax-mp 7	. 2 |- (<.1, S>. seq F) = (((S seq1 (F shift (1 - 1))) shift (1 - 1)) |` {k e. ZZ | 1 <_ k})
35	32, 34	eqtr4 1490	1 |- (S seq1 F) = (<.1, S>. seq F)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  {crab 1640  Vcvv 1802   (_ wss 2037  <.cop 2401   class class class wbr 2609   |` cres 3162   Fn wfn 3167  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   - cmin 5264   <_ cle 5267  NNcn 5268  ZZcz 5270   seq1 cseq1 6244   shift cshi 6277   seq cseqz 6463

This theorem is referenced by:  fsumser1f 6940  ser1clt 6985  ser1mulc 6998  isumnn0nn 7142  geolim1i 7173  geoisum1 7179  geoisum1c 7180  efseq0ex 7253  erelem6 7266

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-seqz 6465

Copyright terms: Public domain