Theorem sdomsdomcard 4848

Description: A set strictly dominates iff its cardinal strictly dominates.

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcard	|- (A ~< B <-> A ~< (card` B))

Proof of Theorem sdomsdomcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomex 4473	. . 3 |- (A ~< B -> (A e. V /\ B e. V))
2	1	pm3.27d 325	. 2 |- (A ~< B -> B e. V)
3		sdom0 4468	. . . 4 |- -. A ~< (/)
4		fvprc 3721	. . . . 5 |- (-. B e. V -> (card` B) = (/))
5	4	breq2d 2630	. . . 4 |- (-. B e. V -> (A ~< (card` B) <-> A ~< (/)))
6	3, 5	mtbiri 717	. . 3 |- (-. B e. V -> -. A ~< (card` B))
7	6	a3i 74	. 2 |- (A ~< (card` B) -> B e. V)
8		fvex 3732	. . . . . 6 |- (card` B) e. V
9		sdomentr 4470	. . . . . 6 |- ((card` B) e. V -> ((A ~< B /\ B ~~ (card` B)) -> A ~< (card` B)))
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((A ~< B /\ B ~~ (card` B)) -> A ~< (card` B))
11	10	ex 373	. . . 4 |- (A ~< B -> (B ~~ (card` B) -> A ~< (card` B)))
12		cardid 4828	. . . . 5 |- (card` B) ~~ B
13		ensymg 4411	. . . . 5 |- (B e. V -> ((card` B) ~~ B -> B ~~ (card` B)))
14	12, 13	mpi 44	. . . 4 |- (B e. V -> B ~~ (card` B))
15	11, 14	syl5com 52	. . 3 |- (B e. V -> (A ~< B -> A ~< (card` B)))
16		sdomentr 4470	. . . 4 |- (B e. V -> ((A ~< (card` B) /\ (card` B) ~~ B) -> A ~< B))
17	12, 16	mpan2i 699	. . 3 |- (B e. V -> (A ~< (card` B) -> A ~< B))
18	15, 17	impbid 516	. 2 |- (B e. V -> (A ~< B <-> A ~< (card` B)))
19	2, 7, 18	pm5.21nii 679	1 |- (A ~< B <-> A ~< (card` B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958  Vcvv 1811  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  ` cfv 3182   ~~ cen 4364   ~< csdm 4366  cardccrd 4813

This theorem is referenced by:  cardsdomel 4852

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-card 4816

Copyright terms: Public domain