Theorem sdomex 4473

Description: Technical lemma for simplifying proofs involving strict dominance.

Assertion

Ref	Expression
sdomex	|- (A ~< B -> (A e. V /\ B e. V))

Proof of Theorem sdomex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 4374	. . 3 |- Rel ~<
2	1	brrelexi 3208	. 2 |- (A ~< B -> A e. V)
3		sdomirr 4472	. . . 4 |- -. A ~< A
4		brprc 2661	. . . 4 |- (-. B e. V -> (A ~< B <-> A ~< A))
5	3, 4	mtbiri 717	. . 3 |- (-. B e. V -> -. A ~< B)
6	5	a3i 74	. 2 |- (A ~< B -> B e. V)
7	2, 6	jca 288	1 |- (A ~< B -> (A e. V /\ B e. V))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  Vcvv 1811   class class class wbr 2619   ~< csdm 4366

This theorem is referenced by:  sdomtr 4474  isfinite2OLD 4546  fin2inf 4547  unxpdom 4844  sucxpdom 4846  sdomsdomcard 4848  cdafi 4936

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370

Copyright terms: Public domain