Theorem sdomen2 4482

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance.

Assertion

Ref	Expression
sdomen2	|- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~< A <-> C ~< B))

Proof of Theorem sdomen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomentr 4470	. . . . . . . . 9 |- (B e. D -> ((C ~< A /\ A ~~ B) -> C ~< B))
2	1	exp3a 375	. . . . . . . 8 |- (B e. D -> (C ~< A -> (A ~~ B -> C ~< B)))
3	2	com23 32	. . . . . . 7 |- (B e. D -> (A ~~ B -> (C ~< A -> C ~< B)))
4	3	imp 350	. . . . . 6 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~< A -> C ~< B))
5	4	adantll 392	. . . . 5 |- (((A e. V /\ B e. D) /\ A ~~ B) -> (C ~< A -> C ~< B))
6		ensymg 4411	. . . . . . 7 |- (B e. D -> (A ~~ B -> B ~~ A))
7		sdomentr 4470	. . . . . . . . 9 |- (A e. V -> ((C ~< B /\ B ~~ A) -> C ~< A))
8	7	exp3a 375	. . . . . . . 8 |- (A e. V -> (C ~< B -> (B ~~ A -> C ~< A)))
9	8	com23 32	. . . . . . 7 |- (A e. V -> (B ~~ A -> (C ~< B -> C ~< A)))
10	6, 9	syl9r 58	. . . . . 6 |- (A e. V -> (B e. D -> (A ~~ B -> (C ~< B -> C ~< A))))
11	10	imp31 362	. . . . 5 |- (((A e. V /\ B e. D) /\ A ~~ B) -> (C ~< B -> C ~< A))
12	5, 11	impbid 516	. . . 4 |- (((A e. V /\ B e. D) /\ A ~~ B) -> (C ~< A <-> C ~< B))
13	12	exp31 376	. . 3 |- (A e. V -> (B e. D -> (A ~~ B -> (C ~< A <-> C ~< B))))
14	13	imp3a 361	. 2 |- (A e. V -> ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~< A <-> C ~< B)))
15		relen 4372	. . . . . 6 |- Rel ~~
16	15	brrelexi 3208	. . . . 5 |- (A ~~ B -> A e. V)
17	16	con3i 98	. . . 4 |- (-. A e. V -> -. A ~~ B)
18	17	pm2.21d 78	. . 3 |- (-. A e. V -> (A ~~ B -> (C ~< A <-> C ~< B)))
19	18	adantld 390	. 2 |- (-. A e. V -> ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~< A <-> C ~< B)))
20	14, 19	pm2.61i 126	1 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~< A <-> C ~< B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958  Vcvv 1811   class class class wbr 2619   ~~ cen 4364   ~< csdm 4366

This theorem is referenced by:  finsucdomOLD 4527  sucxpdom 4846  alephval2 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370

Copyright terms: Public domain