Theorem sbthlem10 4436

Description: Lemma for sbth 4437.

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. V
sbthlem.2	|- D = {x | (x (_ A /\ (g"(B \ (f"x))) (_ (A \ x))}
sbthlem.3	|- H = ((f |` U.D) u. (`'g |` (A \ U.D)))
sbthlem.4	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
sbthlem10	|- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) -> A ~~ B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,D   x,f,g   x,H   f,g,A   B,f,g

Proof of Theorem sbthlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.4	. . . . 5 |- B e. V
2	1	brdom 4360	. . . 4 |- (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B)
3		sbthlem.1	. . . . 5 |- A e. V
4	3	brdom 4360	. . . 4 |- (B ~<_ A <-> E.g g:B-1-1->A)
5	2, 4	anbi12i 481	. . 3 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) <-> (E.f f:A-1-1->B /\ E.g g:B-1-1->A))
6		eeanv 1318	. . 3 |- (E.fE.g(f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) <-> (E.f f:A-1-1->B /\ E.g g:B-1-1->A))
7	5, 6	bitr4 176	. 2 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) <-> E.fE.g(f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A))
8		sbthlem.2	. . . . 5 |- D = {x | (x (_ A /\ (g"(B \ (f"x))) (_ (A \ x))}
9		sbthlem.3	. . . . 5 |- H = ((f |` U.D) u. (`'g |` (A \ U.D)))
10	3, 8, 9	sbthlem9 4435	. . . 4 |- ((f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) -> H:A-1-1-onto->B)
11	3	f1oen 4379	. . . 4 |- (H:A-1-1-onto->B -> A ~~ B)
12	10, 11	syl 10	. . 3 |- ((f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) -> A ~~ B)
13	12	19.23aivv 1291	. 2 |- (E.fE.g(f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) -> A ~~ B)
14	7, 13	sylbi 199	1 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) -> A ~~ B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  {cab 1456  Vcvv 1802   \ cdif 2034   u. cun 2035   (_ wss 2037  U.cuni 2493   class class class wbr 2609  `'ccnv 3159   |` cres 3162  "cima 3163  -1-1->wf1 3169  -1-1-onto->wf1o 3171   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349

This theorem is referenced by:  sbth 4437

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-en 4351  df-dom 4352

Copyright terms: Public domain