Theorem sbcrexgf 1993

Description: Interchange class substitution and restricted existential quantifier.

Hypothesis

Ref	Expression
sbcralgf.1	|- (A.y A e. C -> (z e. A -> A.y z e. A))

Assertion

Ref	Expression
sbcrexgf	|- (A.y A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))

Distinct variable groups:   z,A   x,B   z,C   x,y,z

Proof of Theorem sbcrexgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrex2 1656	. . . . . 6 |- (E.y e. B ph <-> -. A.y e. B -. ph)
2	1	sbcbii 1978	. . . . 5 |- (A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> [A / x] -. A.y e. B -. ph))
3		sbcng 1969	. . . . 5 |- (A e. C -> ([A / x] -. A.y e. B -. ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
4	2, 3	bitrd 528	. . . 4 |- (A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
5	4	a4s 984	. . 3 |- (A.y A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
6		sbcralgf.1	. . . . . 6 |- (A.y A e. C -> (z e. A -> A.y z e. A))
7	6	sbcralgf 1992	. . . . 5 |- (A.y A e. C -> ([A / x]A.y e. B -. ph <-> A.y e. B [A / x] -. ph))
8		hba1 1003	. . . . . 6 |- (A.y A e. C -> A.yA.y A e. C)
9		sbcng 1969	. . . . . . 7 |- (A e. C -> ([A / x] -. ph <-> -. [A / x]ph))
10	9	a4s 984	. . . . . 6 |- (A.y A e. C -> ([A / x] -. ph <-> -. [A / x]ph))
11	8, 10	ralbid 1661	. . . . 5 |- (A.y A e. C -> (A.y e. B [A / x] -. ph <-> A.y e. B -. [A / x]ph))
12	7, 11	bitrd 528	. . . 4 |- (A.y A e. C -> ([A / x]A.y e. B -. ph <-> A.y e. B -. [A / x]ph))
13	12	negbid 611	. . 3 |- (A.y A e. C -> (-. [A / x]A.y e. B -. ph <-> -. A.y e. B -. [A / x]ph))
14	5, 13	bitrd 528	. 2 |- (A.y A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. A.y e. B -. [A / x]ph))
15		dfrex2 1656	. 2 |- (E.y e. B [A / x]ph <-> -. A.y e. B -. [A / x]ph)
16	14, 15	syl6bbr 538	1 |- (A.y A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 954   e. wcel 958  [wsbc 1170  A.wral 1645  E.wrex 1646

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942

Copyright terms: Public domain