Theorem ruclem33 7542

Description: Lemma for ruc 7549. The set of values of our constructed function G is a non-empty subset of RR. This is a helper lemma for theorems involving supremum.

Hypotheses

Ref	Expression
ruclem.0	|- F:NN-->RR
ruclem.1	|- C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1})))
ruclem.2	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (RR X. RR) /\ y e. RR) /\ z = if(((1st` x) < y /\ y < (2nd` x)), <.(((2 x. y) + (2nd` x)) / 3), ((y + (2 x. (2nd` x))) / 3)>., <.(((2 x. (1st` x)) + (2nd` x)) / 3), (((1st` x) + (2 x. (2nd` x))) / 3)>.))}
ruclem.3	|- G = (1st o. (D seq1 C))
ruclem.4	|- H = (2nd o. (D seq1 C))

Assertion

Ref	Expression
ruclem33	|- (ran G (_ RR /\ ran G =/= (/) /\ E.w e. RR A.v e. ran G v <_ w)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v   w,C,v   w,D,v   w,G,v   w,H,v   z,F,w,v

Proof of Theorem ruclem33

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem.0	. . . 4 |- F:NN-->RR
2		ruclem.1	. . . 4 |- C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1})))
3		ruclem.2	. . . 4 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (RR X. RR) /\ y e. RR) /\ z = if(((1st` x) < y /\ y < (2nd` x)), <.(((2 x. y) + (2nd` x)) / 3), ((y + (2 x. (2nd` x))) / 3)>., <.(((2 x. (1st` x)) + (2nd` x)) / 3), (((1st` x) + (2 x. (2nd` x))) / 3)>.))}
4		ruclem.3	. . . 4 |- G = (1st o. (D seq1 C))
5		ruclem.4	. . . 4 |- H = (2nd o. (D seq1 C))
6	1, 2, 3, 4, 5	ruclem17 7526	. . 3 |- G:NN-->RR
7		frn 3633	. . 3 |- (G:NN-->RR -> ran G (_ RR)
8	6, 7	ax-mp 7	. 2 |- ran G (_ RR
9		ffn 3627	. . . . 5 |- (G:NN-->RR -> G Fn NN)
10	6, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- G Fn NN
11		1nn 5934	. . . 4 |- 1 e. NN
12		fnfvelrn 3813	. . . 4 |- ((G Fn NN /\ 1 e. NN) -> (G` 1) e. ran G)
13	10, 11, 12	mp2an 697	. . 3 |- (G` 1) e. ran G
14		ne0i 2286	. . 3 |- ((G` 1) e. ran G -> ran G =/= (/))
15	13, 14	ax-mp 7	. 2 |- ran G =/= (/)
16	1, 2, 3, 4, 5, 11	ruclem23 7532	. . 3 |- (H` 1) e. RR
17		fvelrnb 3760	. . . . . 6 |- (G Fn NN -> (v e. ran G <-> E.w e. NN (G` w) = v))
18	10, 17	ax-mp 7	. . . . 5 |- (v e. ran G <-> E.w e. NN (G` w) = v)
19		breq1 2622	. . . . . . 7 |- ((G` w) = v -> ((G` w) <_ (H` 1) <-> v <_ (H` 1)))
20		ltlet 5520	. . . . . . . 8 |- (((G` w) e. RR /\ (H` 1) e. RR) -> ((G` w) < (H` 1) -> (G` w) <_ (H` 1)))
21		fveq2 3724	. . . . . . . . . . 11 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> (G` w) = (G` if(w e. NN, w, 1)))
22	21	eleq1d 1540	. . . . . . . . . 10 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> ((G` w) e. RR <-> (G` if(w e. NN, w, 1)) e. RR))
23	11	elimel 2394	. . . . . . . . . . 11 |- if(w e. NN, w, 1) e. NN
24	1, 2, 3, 4, 5, 23	ruclem22 7531	. . . . . . . . . 10 |- (G` if(w e. NN, w, 1)) e. RR
25	22, 24	dedth 2383	. . . . . . . . 9 |- (w e. NN -> (G` w) e. RR)
26	25, 16	jctir 293	. . . . . . . 8 |- (w e. NN -> ((G` w) e. RR /\ (H` 1) e. RR))
27	21	breq1d 2629	. . . . . . . . 9 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> ((G` w) < (H` 1) <-> (G` if(w e. NN, w, 1)) < (H` 1)))
28	1, 2, 3, 4, 5, 23, 11	ruclem32 7541	. . . . . . . . 9 |- (G` if(w e. NN, w, 1)) < (H` 1)
29	27, 28	dedth 2383	. . . . . . . 8 |- (w e. NN -> (G` w) < (H` 1))
30	20, 26, 29	sylc 68	. . . . . . 7 |- (w e. NN -> (G` w) <_ (H` 1))
31	19, 30	syl5cbi 209	. . . . . 6 |- (w e. NN -> ((G` w) = v -> v <_ (H` 1)))
32	31	r19.23aiv 1743	. . . . 5 |- (E.w e. NN (G` w) = v -> v <_ (H` 1))
33	18, 32	sylbi 199	. . . 4 |- (v e. ran G -> v <_ (H` 1))
34	33	rgen 1698	. . 3 |- A.v e. ran G v <_ (H` 1)
35		breq2 2623	. . . . 5 |- (w = (H` 1) -> (v <_ w <-> v <_ (H` 1)))
36	35	ralbidv 1663	. . . 4 |- (w = (H` 1) -> (A.v e. ran G v <_ w <-> A.v e. ran G v <_ (H` 1)))
37	36	rcla4ev 1877	. . 3 |- (((H` 1) e. RR /\ A.v e. ran G v <_ (H` 1)) -> E.w e. RR A.v e. ran G v <_ w)
38	16, 34, 37	mp2an 697	. 2 |- E.w e. RR A.v e. ran G v <_ w
39	8, 15, 38	3pm3.2i 818	1 |- (ran G (_ RR /\ ran G =/= (/) /\ E.w e. RR A.v e. ran G v <_ w)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646   \ cdif 2044   u. cun 2045   (_ wss 2047  (/)c0 2280  ifcif 2361  {csn 2409  <.cop 2411   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  ran crn 3171   |` cres 3172   o. ccom 3174   Fn wfn 3177  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  {copab2 3964  1stc1st 4077  2ndc2nd 4078  RRcr 5233  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  2c2 5961  3c3 5962   seq1 cseq1 6307

This theorem is referenced by:  ruclem34 7543  ruclem35 7544

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308

Copyright terms: Public domain