Theorem rnxp 3472

Description: The range of a cross product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37.

Assertion

Ref	Expression
rnxp	|- (A =/= (/) -> ran ( A X. B) = B)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxp 3332	. 2 |- (A =/= (/) -> dom ( B X. A) = B)
2		df-rn 3189	. . 3 |- ran ( A X. B) = dom `'(A X. B)
3		cnvxp 3464	. . . 4 |- `'(A X. B) = (B X. A)
4	3	dmeqi 3312	. . 3 |- dom `'(A X. B) = dom ( B X. A)
5	2, 4	eqtr 1495	. 2 |- ran ( A X. B) = dom ( B X. A)
6	1, 5	syl5eq 1519	1 |- (A =/= (/) -> ran ( A X. B) = B)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   =/= wne 1585  (/)c0 2280   X. cxp 3168  `'ccnv 3169  dom cdm 3170  ran crn 3171

This theorem is referenced by:  rnxpss 3474  ssxpr 3475  xpexr 3479  xpexr2 3480  unixp 3517  fconst 3658  fconst5 3848  fodomr 4483  aceq5lem3 4737  lmsslem 7952  relrded 10675  relrcat 10696

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189

Copyright terms: Public domain