Theorem rnoprab 4004

Description: The range of an operation class abstraction.

Assertion

Ref	Expression
rnoprab	|- ran {<.<.x, y>., z>. | ph} = {z | E.xE.yph}

Distinct variable group:   x,y,z

Proof of Theorem rnoprab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfoprab2 3991	. . 3 |- {<.<.x, y>., z>. | ph} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)}
2	1	rneqi 3340	. 2 |- ran {<.<.x, y>., z>. | ph} = ran {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)}
3		rnopab 3353	. 2 |- ran {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} = {z | E.wE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)}
4		exrot3 1099	. . . 4 |- (E.wE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yE.w(w = <.x, y>. /\ ph))
5		19.41v 1305	. . . . . 6 |- (E.w(w = <.x, y>. /\ ph) <-> (E.w w = <.x, y>. /\ ph))
6		opex 2782	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
7	6	isseti 1815	. . . . . 6 |- E.w w = <.x, y>.
8	5, 7	mpbiran 728	. . . . 5 |- (E.w(w = <.x, y>. /\ ph) <-> ph)
9	8	2exbii 1052	. . . 4 |- (E.xE.yE.w(w = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yph)
10	4, 9	bitr 173	. . 3 |- (E.wE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yph)
11	10	abbii 1575	. 2 |- {z | E.wE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} = {z | E.xE.yph}
12	2, 3, 11	3eqtr 1499	1 |- ran {<.<.x, y>., z>. | ph} = {z | E.xE.yph}

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956  E.wex 980  {cab 1463  <.cop 2411  {copab 2666  ran crn 3171  {copab2 3964

This theorem is referenced by:  bsi 10495  hmeogrp 10538

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-oprab 3966

Copyright terms: Public domain