Theorem rnopab 3353

Description: The range of a class of ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
rnopab	|- ran {<.x, y>. | ph} = {y | E.xph}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem rnopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbopab1 2813	. . 3 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
2		hbopab2 2814	. . 3 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
3	1, 2	dfrnf 3348	. 2 |- ran {<.x, y>. | ph} = {y | E.x<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph}}
4		opabid 2810	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)
5	4	exbii 1051	. . 3 |- (E.x<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xph)
6	5	abbii 1575	. 2 |- {y | E.x<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph}} = {y | E.xph}
7	3, 6	eqtr 1495	1 |- ran {<.x, y>. | ph} = {y | E.xph}

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  <.cop 2411  {copab 2666  ran crn 3171

This theorem is referenced by:  rnopab2 3354  fopab2 3823  rnoprab 4004  fo1st 4091  fo2nd 4092  qsexg 4294  unfilem1 4548  ac6lem 4754  pjrn 9647  rcfpfil 10597  rcfpfilOLD 10598

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189

Copyright terms: Public domain