Theorem rneq 3345

Description: Equality theorem for range.

Assertion

Ref	Expression
rneq	|- (A = B -> ran A = ran B)

Proof of Theorem rneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 3298	. . 3 |- (A = B -> `'A = `'B)
2	1	dmeqd 3319	. 2 |- (A = B -> dom `' A = dom `' B)
3		df-rn 3195	. 2 |- ran A = dom `' A
4		df-rn 3195	. 2 |- ran B = dom `' B
5	2, 3, 4	3eqtr4g 1534	1 |- (A = B -> ran A = ran B)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958  `'ccnv 3175  dom cdm 3176  ran crn 3177

This theorem is referenced by:  rneqi 3346  rneqd 3347  feq1 3626  foeq1 3674  fvres 3740  fconst5 3854  tz7.44-3 3936  rdglem2 3944  map0e 4348  aceq5lem3 4747  numthlem 4793  numth 4794  zorn2lem1 4798  zorn2 4806  infxpidmlem4 7556  infxpidmlem8 7560  infxpidmlem10 7562  infmap2lem2 7582  bcth 8029  grpidval 8054  grpinvfval 8062  grpdivfval 8077  isabl 8097  isring 8137  ringi 8138  vci 8163  isvclem 8192  isnvlem 8225  nvi 8229  isphg 8472  pj11 9651  pjss1co 10086  elghomlem1 10377  ghomgrplem 10384  elgiso 10393  isalg 10624  algi 10631

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195

Copyright terms: Public domain