Theorem rexxp 3219

Description: Existential quantification restricted to a cross product is equivalent to a double restricted quantification.

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- (x = <.y, z>. -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
rexxp	|- (E.x e. (A X. B)ph <-> E.y e. A E.z e. B ps)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   ph,y,z   ps,x

Proof of Theorem rexxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralxp.1	. . . . . 6 |- (x = <.y, z>. -> (ph <-> ps))
2	1	negbid 611	. . . . 5 |- (x = <.y, z>. -> (-. ph <-> -. ps))
3	2	ralxp 3218	. . . 4 |- (A.x e. (A X. B) -. ph <-> A.y e. A A.z e. B -. ps)
4		ralnex 1653	. . . . 5 |- (A.z e. B -. ps <-> -. E.z e. B ps)
5	4	ralbii 1667	. . . 4 |- (A.y e. A A.z e. B -. ps <-> A.y e. A -. E.z e. B ps)
6	3, 5	bitr 173	. . 3 |- (A.x e. (A X. B) -. ph <-> A.y e. A -. E.z e. B ps)
7	6	negbii 187	. 2 |- (-. A.x e. (A X. B) -. ph <-> -. A.y e. A -. E.z e. B ps)
8		dfrex2 1656	. 2 |- (E.x e. (A X. B)ph <-> -. A.x e. (A X. B) -. ph)
9		dfrex2 1656	. 2 |- (E.y e. A E.z e. B ps <-> -. A.y e. A -. E.z e. B ps)
10	7, 8, 9	3bitr4 183	1 |- (E.x e. (A X. B)ph <-> E.y e. A E.z e. B ps)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 956  A.wral 1645  E.wrex 1646  <.cop 2411   X. cxp 3168

This theorem is referenced by:  fnrnoprval 4036  fooprval 4037  oprvalex 4041  elrnoprabg 4124

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184

Copyright terms: Public domain