Theorem resubclt 5410

Description: Closure law for subtraction of reals.

Assertion

Ref	Expression
resubclt	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A - B) e. RR)

Proof of Theorem resubclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsubt 5354	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))
2		recnt 5285	. . 3 |- (A e. RR -> A e. CC)
3		recnt 5285	. . 3 |- (B e. RR -> B e. CC)
4	1, 2, 3	syl2an 454	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + -uB) = (A - B))
5		axaddrcl 5244	. . 3 |- ((A e. RR /\ -uB e. RR) -> (A + -uB) e. RR)
6		renegclt 5409	. . 3 |- (B e. RR -> -uB e. RR)
7	5, 6	sylan2 451	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + -uB) e. RR)
8	4, 7	eqeltrrd 1541	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A - B) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205   + caddc 5209   - cmin 5264  -ucneg 5265

This theorem is referenced by:  resubcl 5411  peano2rem 5414  ltaddsubt 5605  leaddsubt 5607  posdift 5627  suble0t 5648  uzindOLD 6156  qbtwnre 6216  expubndt 6539  reim0t 6711  absdifltt 6821  absdiflet 6822  abssubge0t 6833  abs2difabst 6840  caure 6864  cauim 6865  ser1absdiflem 6866  climge0 7049  climcmplem 7073  climsqueeze 7076  climsqueeze2 7077  climubi 7089  climsup 7091  caucvglem5 7097  caucvglem6 7098  caucvg 7099  cvgcmp3c 7122  ivthlem6 7221  ivthlem7 7222  ivthlem6OLD 7230  ivthlem7OLD 7231  efaddlem1 7280  resin4pt 7378  recos4pt 7379  sin01bndlem3 7411  cos01bndlem3 7413  sin01gt0 7418  cos01gt0 7419  blss 7793  bl2ioo 7850  ioo2bl 7851  blssioo 7852  tgioolem 7853  lmle 7895  nvabs 8240  nmcnilem 8272  ipcj 8301  minveclem24 8499  minveclem25 8500  minveclem26 8501  minveclem27 8502  sincosq1sgn 8621  sincosq2sgn 8622  sincosq3sgn 8623  sincosq4sgn 8624  sinq12gt0t 8625  efif1lem1 8645  efif1lem2 8646  shftefif1olem 8661  shftefif1olemOLD 8662  relogdivt 8693  logdivtOLD 8711  projlem25 9126  projlem26 9127  dmse1 10467  msr3 10469  msr4 10470  mslb1 10473  2wsms 10474  iintlem1 10476  iint 10478  trran 10480  cnvtr 10482

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330

Copyright terms: Public domain