Theorem resiexg 3396

Description: The existence of a restricted identity function, proved without using the Axiom of Replacement (unlike resfunexg 3579).

Assertion

Ref	Expression
resiexg	|- (A e. B -> (I |` A) e. V)

Proof of Theorem resiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 3259	. . 3 |- ((A e. B /\ A e. B) -> (A X. A) e. V)
2	1	anidms 434	. 2 |- (A e. B -> (A X. A) e. V)
3		relres 3387	. . . 4 |- Rel (I |` A)
4		pm3.27 323	. . . . . 6 |- ((x = y /\ x e. A) -> x e. A)
5		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (x = y -> (x e. A <-> y e. A))
6	5	biimpa 416	. . . . . 6 |- ((x = y /\ x e. A) -> y e. A)
7	4, 6	jca 288	. . . . 5 |- ((x = y /\ x e. A) -> (x e. A /\ y e. A))
8		visset 1813	. . . . . . 7 |- y e. V
9	8	opelres 3372	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (I |` A) <-> (<.x, y>. e. I /\ x e. A))
10		df-br 2620	. . . . . . . 8 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
11	8	ideq 3277	. . . . . . . 8 |- (xIy <-> x = y)
12	10, 11	bitr3 175	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. I <-> x = y)
13	12	anbi1i 481	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. I /\ x e. A) <-> (x = y /\ x e. A))
14	9, 13	bitr 173	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (I |` A) <-> (x = y /\ x e. A))
15	8	opelxp 3214	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (A X. A) <-> (x e. A /\ y e. A))
16	7, 14, 15	3imtr4 219	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (I |` A) -> <.x, y>. e. (A X. A))
17	3, 16	relssi 3248	. . 3 |- (I |` A) (_ (A X. A)
18		ssexg 2721	. . 3 |- (((I |` A) (_ (A X. A) /\ (A X. A) e. V) -> (I |` A) e. V)
19	17, 18	mpan 695	. 2 |- ((A X. A) e. V -> (I |` A) e. V)
20	2, 19	syl 10	1 |- (A e. B -> (I |` A) e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   (_ wss 2047  <.cop 2411   class class class wbr 2619  Icid 2831   X. cxp 3168   |` cres 3172

This theorem is referenced by:  enrefg 4390  facnnt 6933  fac0 6934  acdc2lem2 7489  acdc5lem2 7492  idhme 10522  hmphre 10530  idfisf 10760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-res 3190

Copyright terms: Public domain