Theorem remulcl 5307

Description: Closure law for multiplication of reals.

Hypotheses

Ref	Expression
axri.1	|- A e. RR
axri.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
remulcl	|- (A x. B) e. RR

Proof of Theorem remulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axri.1	. 2 |- A e. RR
2		axri.2	. 2 |- B e. RR
3		axmulrcl 5246	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)
4	1, 2, 3	mp2an 695	1 |- (A x. B) e. RR

Syntax hints:   e. wcel 955  (class class class)co 3948  RRcr 5205   x. cmul 5211

This theorem is referenced by:  mulge0 5581  msqge0 5588  ltmullem 5614  redivcl 5754  prodgt0lem 5774  prodge0 5776  ltmul1i 5777  ltmuldiv 5781  lt2msq 5829  le2msq 5830  msq11 5831  halfpos 5852  ledivp1 5854  ltdivp1 5855  nn0lele2x 6082  discrlem1 6586  discrlem2 6587  discrlem3 6588  nn0opthlem2 6595  sqr0 6602  sqrlem1 6603  sqrlem2 6604  sqrlem6 6608  sqrlem10 6612  sqrlem11 6613  sqrlem12 6614  sqrlem16 6618  sqrlem19 6621  sqrlem20 6622  sqrlem23 6625  sqrmuli 6634  sqrmsq2 6636  sqrmsq 6639  sqr2irrlem1 6654  sqr2irrlem4 6657  remul 6721  immul 6722  ipcn 6725  abstri 6829  faclbnd4lem1 6885  expcnvlem2 7163  cvgratlem1ALT 7182  efaddlem12 7291  efaddlem13 7292  efaddlem16 7295  efaddlem20 7299  efaddlem22 7301  efaddlem23 7302  efaddlem25 7304  absef01tllem 7328  eirrlem1 7330  eirrlem3 7332  efcnlem1 7359  efcnlem2 7360  sin01bndlem1 7409  cos2bnd 7417  sin4lt0 7423  ruclem1 7453  ruclem2 7454  ruclem3 7455  ruclem26 7478  siilem1 8442  minveclem21 8496  minveclem25 8500  minveclem26 8501  minveclem27 8502  minveclem38 8513  sinperlem1 8605  sincosq3sgn 8623  sincosq4sgn 8624  sincos4thpi 8627  cosh111lem1 8629  efif 8636  efifolem2 8638  efifolem3 8639  efifolem4 8640  efifolem6 8642  efifolem7 8643  efif1lem1 8645  efif1lem2 8646  efif1lem4 8648  efif1lem5 8649  efif1lem6 8650  efif1lem7 8651  circgrp 8660  shftefif1olem 8661  shftefif1olemOLD 8662  effoi 8666  effoiOLD 8667  efper 8669  normlem6 8902  normlem7 8903  norm-ii 8925  normpar2 8944  bcsALT 8967  projlem1 9102  projlem2 9103  projlem3 9104  projlem4 9105  projlem5 9106  projlem6 9107  projlem18 9119  projlem28 9129  nmopadjlem 9937  nmopco 9942  bdopco 9945  nmopcoadj 9948  unierr 9950

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-m1r 5145  df-c 5212  df-r 5216  df-mul 5218

Copyright terms: Public domain