Theorem relssi 3243

Description: Inference from subclass principle for relations.

Hypotheses

Ref	Expression
relssi.1	|- Rel A
relssi.2	|- (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)

Assertion

Ref	Expression
relssi	|- A (_ B

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem relssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssi.1	. . 3 |- Rel A
2		ssrel 3242	. . 3 |- (Rel A -> (A (_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- (A (_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
4		relssi.2	. . 3 |- (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)
5	4	ax-gen 961	. 2 |- A.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)
6	3, 5	mpgbir 986	1 |- A (_ B

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 952   e. wcel 956   (_ wss 2043  <.cop 2407  Rel wrel 3170

This theorem is referenced by:  xpsspw 3252  resiexg 3388  oprssdm 4033  ecopoprdm 4299  enssdom 4370  idssen 4393

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180

Copyright terms: Public domain