Theorem relsn 3244

Description: A singleton of an ordered pair is a relation.

Hypothesis

Ref	Expression
relsn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
relsn	|- Rel {<.A, B>.}

Proof of Theorem relsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsn.1	. . . . 5 |- A e. V
2		opelxpi 3207	. . . . 5 |- ((A e. V /\ B e. V) -> <.A, B>. e. (V X. V))
3	1, 2	mpan 693	. . . 4 |- (B e. V -> <.A, B>. e. (V X. V))
4		opprc2 2490	. . . . 5 |- (-. B e. V -> <.A, B>. = <.A, A>.)
5	1	opelxp 3204	. . . . . 6 |- (<.A, A>. e. (V X. V) <-> (A e. V /\ A e. V))
6	5, 1, 1	mpbir2an 728	. . . . 5 |- <.A, A>. e. (V X. V)
7	4, 6	syl6eqel 1548	. . . 4 |- (-. B e. V -> <.A, B>. e. (V X. V))
8	3, 7	pm2.61i 126	. . 3 |- <.A, B>. e. (V X. V)
9		snssi 2457	. . 3 |- (<.A, B>. e. (V X. V) -> {<.A, B>.} (_ (V X. V))
10	8, 9	ax-mp 7	. 2 |- {<.A, B>.} (_ (V X. V)
11		df-rel 3175	. 2 |- (Rel {<.A, B>.} <-> {<.A, B>.} (_ (V X. V))
12	10, 11	mpbir 190	1 |- Rel {<.A, B>.}

Syntax hints:  -. wn 2   e. wcel 955  Vcvv 1802   (_ wss 2037  {csn 2399  <.cop 2401   X. cxp 3158  Rel wrel 3165

This theorem is referenced by:  cnvsn 3435  funsn 3529  fsn 3819

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175

Copyright terms: Public domain