Theorem relopab 3256

Description: A class of ordered pairs is a relation.

Assertion

Ref	Expression
relopab	|- Rel {<.x, y>. | ph}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem relopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1804	. . . . . 6 |- x e. V
2		visset 1804	. . . . . 6 |- y e. V
3	1, 2	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (x e. V /\ y e. V)
4	3	a1i 8	. . . 4 |- (ph -> (x e. V /\ y e. V))
5	4	ssopab2i 2812	. . 3 |- {<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)}
6		df-xp 3174	. . 3 |- (V X. V) = {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)}
7	5, 6	sseqtr4 2084	. 2 |- {<.x, y>. | ph} (_ (V X. V)
8		df-rel 3175	. 2 |- (Rel {<.x, y>. | ph} <-> {<.x, y>. | ph} (_ (V X. V))
9	7, 8	mpbir 190	1 |- Rel {<.x, y>. | ph}

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 955  Vcvv 1802   (_ wss 2037  {copab 2656   X. cxp 3158  Rel wrel 3165

This theorem is referenced by:  opabid2 3257  inopab 3258  reli 3263  rele 3264  relcnv 3419  cnvopab 3431  relco 3470  funopab 3534  fnopabfv 3743  reloprab 3977  reldmoprab 3990  elopabi 4101  relen 4354  reldom 4355  aceq3lem 4704  climrel 6914  eltopsp 7546  tpsex 7547  msrel 7736  lmrel 7865  isring 8078  vcrel 8103  fiv 10374  hgrarel 10604

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175

Copyright terms: Public domain