Theorem reldm0 3331

Description: A relation is empty iff its domain is empty.

Assertion

Ref	Expression
reldm0	|- (Rel A -> (A = (/) <-> dom A = (/)))

Proof of Theorem reldm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 3272	. . 3 |- Rel (/)
2		eqrel 3250	. . 3 |- ((Rel A /\ Rel (/)) -> (A = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/))))
3	1, 2	mpan2 696	. 2 |- (Rel A -> (A = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/))))
4		eq0 2294	. . 3 |- (dom A = (/) <-> A.x -. x e. dom A)
5		visset 1813	. . . . . . 7 |- x e. V
6	5	eldm2 3308	. . . . . 6 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
7	6	negbii 187	. . . . 5 |- (-. x e. dom A <-> -. E.y<.x, y>. e. A)
8		alnex 1033	. . . . 5 |- (A.y -. <.x, y>. e. A <-> -. E.y<.x, y>. e. A)
9		noel 2284	. . . . . . 7 |- -. <.x, y>. e. (/)
10	9	nbn 722	. . . . . 6 |- (-. <.x, y>. e. A <-> (<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
11	10	albii 999	. . . . 5 |- (A.y -. <.x, y>. e. A <-> A.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
12	7, 8, 11	3bitr2 179	. . . 4 |- (-. x e. dom A <-> A.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
13	12	albii 999	. . 3 |- (A.x -. x e. dom A <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
14	4, 13	bitr2 174	. 2 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)) <-> dom A = (/))
15	3, 14	syl6bb 536	1 |- (Rel A -> (A = (/) <-> dom A = (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  (/)c0 2280  <.cop 2411  dom cdm 3170  Rel wrel 3175

This theorem is referenced by:  relrn0 3356  fnresdisj 3597  mapdom2lem 4493  metne0 7821

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-dm 3188

Copyright terms: Public domain