Theorem reefiso 7428

Description: The exponential function on the reals determines an isomorphism from reals onto positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
reefiso	|- (exp |` RR) Isom < , < (RR, RR+)

Proof of Theorem reefiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iso 3205	. 2 |- ((exp |` RR) Isom < , < (RR, RR+) <-> ((exp |` RR):RR-1-1-onto->RR+ /\ A.x e. RR A.y e. RR (x < y <-> ((exp |` RR)` x) < ((exp |` RR)` y))))
2		reeff1o2 7427	. 2 |- (exp |` RR):RR-1-1-onto->RR+
3		breq1 2627	. . . . 5 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> (x < y <-> if(x e. RR, x, 0) < y))
4		fveq2 3730	. . . . . 6 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> ((exp |` RR)` x) = ((exp |` RR)` if(x e. RR, x, 0)))
5	4	breq1d 2634	. . . . 5 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> (((exp |` RR)` x) < ((exp |` RR)` y) <-> ((exp |` RR)` if(x e. RR, x, 0)) < ((exp |` RR)` y)))
6	3, 5	bibi12d 631	. . . 4 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> ((x < y <-> ((exp |` RR)` x) < ((exp |` RR)` y)) <-> (if(x e. RR, x, 0) < y <-> ((exp |` RR)` if(x e. RR, x, 0)) < ((exp |` RR)` y))))
7		breq2 2628	. . . . 5 |- (y = if(y e. RR, y, 0) -> (if(x e. RR, x, 0) < y <-> if(x e. RR, x, 0) < if(y e. RR, y, 0)))
8		fveq2 3730	. . . . . 6 |- (y = if(y e. RR, y, 0) -> ((exp |` RR)` y) = ((exp |` RR)` if(y e. RR, y, 0)))
9	8	breq2d 2635	. . . . 5 |- (y = if(y e. RR, y, 0) -> (((exp |` RR)` if(x e. RR, x, 0)) < ((exp |` RR)` y) <-> ((exp |` RR)` if(x e. RR, x, 0)) < ((exp |` RR)` if(y e. RR, y, 0))))
10	7, 9	bibi12d 631	. . . 4 |- (y = if(y e. RR, y, 0) -> ((if(x e. RR, x, 0) < y <-> ((exp |` RR)` if(x e. RR, x, 0)) < ((exp |` RR)` y)) <-> (if(x e. RR, x, 0) < if(y e. RR, y, 0) <-> ((exp |` RR)` if(x e. RR, x, 0)) < ((exp |` RR)` if(y e. RR, y, 0)))))
11		0re 5452	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
12	11	elimel 2398	. . . . . 6 |- if(x e. RR, x, 0) e. RR
13	11	elimel 2398	. . . . . 6 |- if(y e. RR, y, 0) e. RR
14	12, 13	efltb 7407	. . . . 5 |- (if(x e. RR, x, 0) < if(y e. RR, y, 0) <-> (exp` if(x e. RR, x, 0)) < (exp` if(y e. RR, y, 0)))
15		fvres 3740	. . . . . . 7 |- (if(x e. RR, x, 0) e. RR -> ((exp |` RR)` if(x e. RR, x, 0)) = (exp` if(x e. RR, x, 0)))
16	12, 15	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((exp |` RR)` if(x e. RR, x, 0)) = (exp` if(x e. RR, x, 0))
17		fvres 3740	. . . . . . 7 |- (if(y e. RR, y, 0) e. RR -> ((exp |` RR)` if(y e. RR, y, 0)) = (exp` if(y e. RR, y, 0)))
18	13, 17	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((exp |` RR)` if(y e. RR, y, 0)) = (exp` if(y e. RR, y, 0))
19	16, 18	breq12i 2633	. . . . 5 |- (((exp |` RR)` if(x e. RR, x, 0)) < ((exp |` RR)` if(y e. RR, y, 0)) <-> (exp` if(x e. RR, x, 0)) < (exp` if(y e. RR, y, 0)))
20	14, 19	bitr4 176	. . . 4 |- (if(x e. RR, x, 0) < if(y e. RR, y, 0) <-> ((exp |` RR)` if(x e. RR, x, 0)) < ((exp |` RR)` if(y e. RR, y, 0)))
21	6, 10, 20	dedth2h 2391	. . 3 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x < y <-> ((exp |` RR)` x) < ((exp |` RR)` y)))
22	21	rgen2a 1702	. 2 |- A.x e. RR A.y e. RR (x < y <-> ((exp |` RR)` x) < ((exp |` RR)` y))
23	1, 2, 22	mpbir2an 732	1 |- (exp |` RR) Isom < , < (RR, RR+)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  ifcif 2365   class class class wbr 2624   |` cres 3178  -1-1-onto->wf1o 3187  ` cfv 3188   Isom wiso 3189  RRcr 5245  0cc0 5246  RR+crp 5312   < clt 5498  expce 7293

This theorem is referenced by:  relogiso 8770

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-iso 3205  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-icc 6365  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain