Theorem reeff1olem2 7373

Description: Lemma for reeff1o 7376.

Assertion

Ref	Expression
reeff1olem2	|- ((U e. RR /\ 1 < U) -> E.x e. RR (exp` x) = U)

Distinct variable group:   x,U

Proof of Theorem reeff1olem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 1481	. . 3 |- (U = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) -> ((exp` x) = U <-> (exp` x) = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)))
2	1	rexbidv 1661	. 2 |- (U = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) -> (E.x e. RR (exp` x) = U <-> E.x e. RR (exp` x) = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)))
3		eleq1 1531	. . . . . 6 |- (U = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) -> (U e. RR <-> if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) e. RR))
4		breq2 2618	. . . . . 6 |- (U = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) -> (1 < U <-> 1 < if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)))
5	3, 4	anbi12d 627	. . . . 5 |- (U = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) -> ((U e. RR /\ 1 < U) <-> (if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) e. RR /\ 1 < if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2))))
6		eleq1 1531	. . . . . 6 |- (2 = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) -> (2 e. RR <-> if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) e. RR))
7		breq2 2618	. . . . . 6 |- (2 = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) -> (1 < 2 <-> 1 < if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)))
8	6, 7	anbi12d 627	. . . . 5 |- (2 = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) -> ((2 e. RR /\ 1 < 2) <-> (if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) e. RR /\ 1 < if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2))))
9		2re 5934	. . . . . 6 |- 2 e. RR
10		1lt2 5983	. . . . . 6 |- 1 < 2
11	9, 10	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (2 e. RR /\ 1 < 2)
12	5, 8, 11	elimhyp 2386	. . . 4 |- (if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) e. RR /\ 1 < if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2))
13	12	pm3.26i 320	. . 3 |- if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2) e. RR
14	12	pm3.27i 324	. . 3 |- 1 < if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)
15		eqid 1473	. . 3 |- {y e. (0[,]if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)) | (exp` y) = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)} = {y e. (0[,]if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)) | (exp` y) = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)}
16		eqid 1473	. . 3 |- sup({y e. (0[,]if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)) | (exp` y) = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)}, RR, < ) = sup({y e. (0[,]if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)) | (exp` y) = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)}, RR, < )
17	13, 14, 15, 16	reeff1olem1 7372	. 2 |- E.x e. RR (exp` x) = if((U e. RR /\ 1 < U), U, 2)
18	2, 17	dedth 2379	1 |- ((U e. RR /\ 1 < U) -> E.x e. RR (exp` x) = U)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643  {crab 1645  ifcif 2357   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  supcsup 4553  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   < clt 5466  2c2 5916  [,]cicc 6305  expce 7243

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-q 6202  df-rp 6227  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-ioo 6306  df-icc 6309  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-seq0 6474  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-fac 6877  df-bc 6902  df-clim 6921  df-sum 6926  df-cncf 7206  df-ef 7248

Copyright terms: Public domain