Theorem reeff1olem1OLD 7366

Description: Lemma for reeff1o 7368.

Hypotheses

Ref	Expression
reeff1olem1OLD.1	|- U e. RR
reeff1olem1OLD.2	|- 1 < U
reeff1olem1OLD.3	|- C = sup({c e. (0[,]U) | (exp` c) <_ U}, RR, < )

Assertion

Ref	Expression
reeff1olem1OLD	|- E.x e. RR (exp` x) = U

Distinct variable groups:   x,C   U,c,x

Proof of Theorem reeff1olem1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5412	. . . 4 |- 0 e. RR
2		reeff1olem1OLD.1	. . . 4 |- U e. RR
3		lt01 5653	. . . . 5 |- 0 < 1
4		reeff1olem1OLD.2	. . . . 5 |- 1 < U
5		1re 5407	. . . . . 6 |- 1 e. RR
6	1, 5, 2	lttr 5559	. . . . 5 |- ((0 < 1 /\ 1 < U) -> 0 < U)
7	3, 4, 6	mp2an 695	. . . 4 |- 0 < U
8		ef0 7277	. . . . . 6 |- (exp` 0) = 1
9	8, 4	eqbrtr 2624	. . . . 5 |- (exp` 0) < U
10	2	ltp1 5769	. . . . . 6 |- U < (U + 1)
11		ax1cn 5241	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
12	2	recn 5286	. . . . . . . 8 |- U e. CC
13	11, 12	addcom 5294	. . . . . . 7 |- (1 + U) = (U + 1)
14	1, 2, 7	ltlei 5554	. . . . . . . 8 |- 0 <_ U
15	2	efge1p 7343	. . . . . . . 8 |- (0 <_ U -> (1 + U) <_ (exp` U))
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (1 + U) <_ (exp` U)
17	13, 16	eqbrtrr 2626	. . . . . 6 |- (U + 1) <_ (exp` U)
18	2, 5	readdcl 5306	. . . . . . 7 |- (U + 1) e. RR
19	2	reefcl 7259	. . . . . . 7 |- (exp` U) e. RR
20	2, 18, 19	ltletr 5561	. . . . . 6 |- ((U < (U + 1) /\ (U + 1) <_ (exp` U)) -> U < (exp` U))
21	10, 17, 20	mp2an 695	. . . . 5 |- U < (exp` U)
22	9, 21	pm3.2i 285	. . . 4 |- ((exp` 0) < U /\ U < (exp` U))
23		reeff1olem1OLD.3	. . . 4 |- C = sup({c e. (0[,]U) | (exp` c) <_ U}, RR, < )
24		ssid 2070	. . . . 5 |- CC (_ CC
25		elicc2t 6324	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ U e. RR) -> (x e. (0[,]U) <-> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ U)))
26	1, 2, 25	mp2an 695	. . . . . . . . 9 |- (x e. (0[,]U) <-> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ U))
27	26	biimp 151	. . . . . . . 8 |- (x e. (0[,]U) -> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ U))
28	27	3simp1d 792	. . . . . . 7 |- (x e. (0[,]U) -> x e. RR)
29	28	ssriv 2059	. . . . . 6 |- (0[,]U) (_ RR
30		axresscn 5240	. . . . . 6 |- RR (_ CC
31	29, 30	sstri 2063	. . . . 5 |- (0[,]U) (_ CC
32	24, 24, 31	3pm3.2i 816	. . . 4 |- (CC (_ CC /\ CC (_ CC /\ (0[,]U) (_ CC)
33		efcn 7363	. . . 4 |- exp e. (CC-cn->CC)
34		reefclt 7260	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (exp` x) e. RR)
35	28, 34	syl 10	. . . . 5 |- (x e. (0[,]U) -> (exp` x) e. RR)
36	35	rgen 1690	. . . 4 |- A.x e. (0[,]U)(exp` x) e. RR
37	1, 2, 2, 7, 22, 23, 32, 33, 36	ivth2OLD 7234	. . 3 |- (C e. (0(,)U) /\ (exp` C) = U)
38		ioossre 6328	. . . . 5 |- (0(,)U) (_ RR
39	38	sseli 2055	. . . 4 |- (C e. (0(,)U) -> C e. RR)
40	39	anim1i 334	. . 3 |- ((C e. (0(,)U) /\ (exp` C) = U) -> (C e. RR /\ (exp` C) = U))
41	37, 40	ax-mp 7	. 2 |- (C e. RR /\ (exp` C) = U)
42		fveq2 3709	. . . 4 |- (x = C -> (exp` x) = (exp` C))
43	42	eqeq1d 1475	. . 3 |- (x = C -> ((exp` x) = U <-> (exp` C) = U))
44	43	rcla4ev 1868	. 2 |- ((C e. RR /\ (exp` C) = U) -> E.x e. RR (exp` x) = U)
45	41, 44	ax-mp 7	1 |- E.x e. RR (exp` x) = U

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638  {crab 1640   (_ wss 2037   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   <_ cle 5267   < clt 5458  (,)cioo 6294  [,]cicc 6297  expce 7235

This theorem is referenced by:  reeff1olem2OLD 7367

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-rp 6219  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-icc 6301  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-bc 6894  df-clim 6913  df-sum 6918  df-cncf 7198  df-ef 7240

Copyright terms: Public domain