Theorem reeff1olem1 7424

Description: Lemma for reeff1o 7426.

Hypotheses

Ref	Expression
reeff1olem1.1	|- U e. RR
reeff1olem1.2	|- 1 < U
reeff1olem1.3	|- S = {x e. (0[,]U) | (exp` x) = U}
reeff1olem1.4	|- C = sup(S, RR, < )

Assertion

Ref	Expression
reeff1olem1	|- E.y e. RR (exp` y) = U

Distinct variable groups:   y,C   x,U,y

Proof of Theorem reeff1olem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5452	. . . 4 |- 0 e. RR
2		reeff1olem1.1	. . . 4 |- U e. RR
3		lt01 5692	. . . . 5 |- 0 < 1
4		reeff1olem1.2	. . . . 5 |- 1 < U
5		1re 5447	. . . . . 6 |- 1 e. RR
6	1, 5, 2	lttr 5597	. . . . 5 |- ((0 < 1 /\ 1 < U) -> 0 < U)
7	3, 4, 6	mp2an 699	. . . 4 |- 0 < U
8		elicc2t 6393	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ U e. RR) -> (x e. (0[,]U) <-> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ U)))
9	1, 2, 8	mp2an 699	. . . . . . . 8 |- (x e. (0[,]U) <-> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ U))
10	9	biimp 151	. . . . . . 7 |- (x e. (0[,]U) -> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ U))
11	10	3simp1d 796	. . . . . 6 |- (x e. (0[,]U) -> x e. RR)
12	11	ssriv 2072	. . . . 5 |- (0[,]U) (_ RR
13		axresscn 5280	. . . . 5 |- RR (_ CC
14	12, 13	sstri 2076	. . . 4 |- (0[,]U) (_ CC
15		ssid 2083	. . . 4 |- CC (_ CC
16		efcn 7423	. . . 4 |- exp e. (CC-cn->CC)
17		reefclt 7318	. . . . 5 |- (x e. RR -> (exp` x) e. RR)
18	11, 17	syl 10	. . . 4 |- (x e. (0[,]U) -> (exp` x) e. RR)
19		reeff1olem1.3	. . . 4 |- S = {x e. (0[,]U) | (exp` x) = U}
20		ef0 7335	. . . . . 6 |- (exp` 0) = 1
21	20, 4	eqbrtr 2639	. . . . 5 |- (exp` 0) < U
22	2	ltp1 5815	. . . . . 6 |- U < (U + 1)
23		ax1cn 5281	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
24	2	recn 5326	. . . . . . . 8 |- U e. CC
25	23, 24	addcom 5334	. . . . . . 7 |- (1 + U) = (U + 1)
26	1, 2, 7	ltlei 5593	. . . . . . . 8 |- 0 <_ U
27	2	efge1p 7402	. . . . . . . 8 |- (0 <_ U -> (1 + U) <_ (exp` U))
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (1 + U) <_ (exp` U)
29	25, 28	eqbrtrr 2641	. . . . . 6 |- (U + 1) <_ (exp` U)
30	2, 5	readdcl 5346	. . . . . . 7 |- (U + 1) e. RR
31	2	reefcl 7317	. . . . . . 7 |- (exp` U) e. RR
32	2, 30, 31	ltletr 5599	. . . . . 6 |- ((U < (U + 1) /\ (U + 1) <_ (exp` U)) -> U < (exp` U))
33	22, 29, 32	mp2an 699	. . . . 5 |- U < (exp` U)
34	21, 33	pm3.2i 285	. . . 4 |- ((exp` 0) < U /\ U < (exp` U))
35		reeff1olem1.4	. . . 4 |- C = sup(S, RR, < )
36	1, 2, 2, 7, 14, 15, 16, 18, 19, 34, 35	isupivth 7290	. . 3 |- (C e. (0(,)U) /\ (exp` C) = U)
37		eliooret 6387	. . . 4 |- (C e. (0(,)U) -> C e. RR)
38	37	anim1i 334	. . 3 |- ((C e. (0(,)U) /\ (exp` C) = U) -> (C e. RR /\ (exp` C) = U))
39	36, 38	ax-mp 7	. 2 |- (C e. RR /\ (exp` C) = U)
40		fveq2 3730	. . . 4 |- (y = C -> (exp` y) = (exp` C))
41	40	eqeq1d 1486	. . 3 |- (y = C -> ((exp` y) = U <-> (exp` C) = U))
42	41	rcla4ev 1880	. 2 |- ((C e. RR /\ (exp` C) = U) -> E.y e. RR (exp` y) = U)
43	39, 42	ax-mp 7	1 |- E.y e. RR (exp` y) = U

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649  {crab 1651   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  supcsup 4582  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   <_ cle 5307   < clt 5498  (,)cioo 6358  [,]cicc 6361  expce 7293

This theorem is referenced by:  reeff1olem2 7425

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-icc 6365  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain