HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem recrecltt 5850
Description: Given a positive number A, construct a new positive number less than both A and 1.
Assertion
Ref Expression
recrecltt |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> ((1 / (1 + (1 / A))) < 1 /\ (1 / (1 + (1 / A))) < A))
Proof of Theorem recrecltt
StepHypRef Expression
1 recgt0t 5815 . . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (1 / A))
2 gt0ne0t 5592 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A =/= 0)
3 rerecclt 5759 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> (1 / A) e. RR)
42, 3syldan 467 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 / A) e. RR)
5 1re 5407 . . . . . 6 |- 1 e. RR
6 ltaddpost 5624 . . . . . 6 |- (((1 / A) e. RR /\ 1 e. RR) -> (0 < (1 / A) <-> 1 < (1 + (1 / A))))
75, 6mpan2 694 . . . . 5 |- ((1 / A) e. RR -> (0 < (1 / A) <-> 1 < (1 + (1 / A))))
84, 7syl 10 . . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (0 < (1 / A) <-> 1 < (1 + (1 / A))))
91, 8mpbid 195 . . 3 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 1 < (1 + (1 / A)))
10 recgt1t 5847 . . . 4 |- (((1 + (1 / A)) e. RR /\ 0 < (1 + (1 / A))) -> (1 < (1 + (1 / A)) <-> (1 / (1 + (1 / A))) < 1))
11 axaddrcl 5244 . . . . . 6 |- ((1 e. RR /\ (1 / A) e. RR) -> (1 + (1 / A)) e. RR)
125, 11mpan 693 . . . . 5 |- ((1 / A) e. RR -> (1 + (1 / A)) e. RR)
134, 12syl 10 . . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 + (1 / A)) e. RR)
14 lt01 5653 . . . . . 6 |- 0 < 1
15 0re 5412 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
16 axlttrn 5476 . . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR /\ (1 + (1 / A)) e. RR) -> ((0 < 1 /\ 1 < (1 + (1 / A))) -> 0 < (1 + (1 / A))))
1715, 5, 16mp3an12 903 . . . . . . 7 |- ((1 + (1 / A)) e. RR -> ((0 < 1 /\ 1 < (1 + (1 / A))) -> 0 < (1 + (1 / A))))
1813, 17syl 10 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> ((0 < 1 /\ 1 < (1 + (1 / A))) -> 0 < (1 + (1 / A))))
1914, 18mpani 696 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 < (1 + (1 / A)) -> 0 < (1 + (1 / A))))
209, 19mpd 26 . . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (1 + (1 / A)))
2110, 13, 20sylanc 471 . . 3 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 < (1 + (1 / A)) <-> (1 / (1 + (1 / A))) < 1))
229, 21mpbid 195 . 2 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 / (1 + (1 / A))) < 1)
23 ltaddpost 5624 . . . . . . 7 |- ((1 e. RR /\ (1 / A) e. RR) -> (0 < 1 <-> (1 / A) < ((1 / A) + 1)))
245, 23mpan 693 . . . . . 6 |- ((1 / A) e. RR -> (0 < 1 <-> (1 / A) < ((1 / A) + 1)))
254, 24syl 10 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (0 < 1 <-> (1 / A) < ((1 / A) + 1)))
2614, 25mpbii 193 . . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 / A) < ((1 / A) + 1))
274recnd 5287 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 / A) e. CC)
28 ax1cn 5241 . . . . . 6 |- 1 e. CC
29 axaddcom 5247 . . . . . 6 |- (((1 / A) e. CC /\ 1 e. CC) -> ((1 / A) + 1) = (1 + (1 / A)))
3028, 29mpan2 694 . . . . 5 |- ((1 / A) e. CC -> ((1 / A) + 1) = (1 + (1 / A)))
3127, 30syl 10 . . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> ((1 / A) + 1) = (1 + (1 / A)))
3226, 31breqtrd 2629 . . 3 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 / A) < (1 + (1 / A)))
33 ltrec1t 5836 . . . 4 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ ((1 + (1 / A)) e. RR /\ 0 < (1 + (1 / A)))) -> ((1 / A) < (1 + (1 / A)) <-> (1 / (1 + (1 / A))) < A))
34 pm3.26 319 . . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A e. RR)
35 pm3.27 323 . . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < A)
3633, 34, 35, 13, 20syl2anc 472 . . 3 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> ((1 / A) < (1 + (1 / A)) <-> (1 / (1 + (1 / A))) < A))
3732, 36mpbid 195 . 2 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 / (1 + (1 / A))) < A)
3822, 37jca 288 1 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> ((1 / (1 + (1 / A))) < 1 /\ (1 / (1 + (1 / A))) < A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   / cdiv 5266   < clt 5458
This theorem is referenced by:  climmullem5 7060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672
Copyright terms: Public domain