Theorem recp1lt1 5857

Description: Construct a number less than 1 from any nonnegative number.

Assertion

Ref	Expression
recp1lt1	|- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A / (1 + A)) < 1)

Proof of Theorem recp1lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1t 5775	. . . . 5 |- (A e. RR -> A < (A + 1))
2		recnt 5293	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. CC)
3		ax1cn 5249	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
4		axaddcom 5255	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ 1 e. CC) -> (A + 1) = (1 + A))
5	3, 4	mpan2 695	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (A + 1) = (1 + A))
6	2, 5	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> (A + 1) = (1 + A))
7	1, 6	breqtrd 2634	. . . 4 |- (A e. RR -> A < (1 + A))
8	7	adantr 389	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A < (1 + A))
9		divcan1t 5697	. . . 4 |- (((1 + A) e. CC /\ A e. CC /\ (1 + A) =/= 0) -> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) = A)
10		1re 5415	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
11		axaddrcl 5252	. . . . . . 7 |- ((1 e. RR /\ A e. RR) -> (1 + A) e. RR)
12	10, 11	mpan 694	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (1 + A) e. RR)
13	12	adantr 389	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (1 + A) e. RR)
14	13	recnd 5295	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (1 + A) e. CC)
15	2	adantr 389	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. CC)
16		gt0ne0t 5600	. . . . 5 |- (((1 + A) e. RR /\ 0 < (1 + A)) -> (1 + A) =/= 0)
17		lt01 5661	. . . . . . 7 |- 0 < 1
18		addgtge0t 5630	. . . . . . 7 |- (((1 e. RR /\ A e. RR) /\ (0 < 1 /\ 0 <_ A)) -> 0 < (1 + A))
19	17, 18	mpanr1 708	. . . . . 6 |- (((1 e. RR /\ A e. RR) /\ 0 <_ A) -> 0 < (1 + A))
20	10, 19	mpanl1 705	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> 0 < (1 + A))
21	16, 13, 20	sylanc 471	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (1 + A) =/= 0)
22	9, 14, 15, 21	syl3anc 857	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) = A)
23	12	recnd 5295	. . . . 5 |- (A e. RR -> (1 + A) e. CC)
24		mulid2t 5397	. . . . 5 |- ((1 + A) e. CC -> (1 x. (1 + A)) = (1 + A))
25	23, 24	syl 10	. . . 4 |- (A e. RR -> (1 x. (1 + A)) = (1 + A))
26	25	adantr 389	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (1 x. (1 + A)) = (1 + A))
27	8, 22, 26	3brtr4d 2640	. 2 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) < (1 x. (1 + A)))
28		ltmul1t 5794	. . . 4 |- ((((A / (1 + A)) e. RR /\ 1 e. RR /\ (1 + A) e. RR) /\ 0 < (1 + A)) -> ((A / (1 + A)) < 1 <-> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) < (1 x. (1 + A))))
29	10, 28	mp3anl2 909	. . 3 |- ((((A / (1 + A)) e. RR /\ (1 + A) e. RR) /\ 0 < (1 + A)) -> ((A / (1 + A)) < 1 <-> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) < (1 x. (1 + A))))
30		redivclt 5764	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ (1 + A) e. RR /\ (1 + A) =/= 0) -> (A / (1 + A)) e. RR)
31		pm3.26 319	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR)
32	30, 31, 13, 21	syl3anc 857	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A / (1 + A)) e. RR)
33	32, 13	jca 288	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> ((A / (1 + A)) e. RR /\ (1 + A) e. RR))
34	29, 33, 20	sylanc 471	. 2 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> ((A / (1 + A)) < 1 <-> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) < (1 x. (1 + A))))
35	27, 34	mpbird 196	1 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A / (1 + A)) < 1)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   / cdiv 5274   <_ cle 5275   < clt 5466

This theorem is referenced by:  climmullem4 7067

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680

Copyright terms: Public domain