Theorem recos4pt 7379

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the cosine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
efit4pt.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((i x. A)^j) / (!` j)))}

Assertion

Ref	Expression
recos4pt	|- (A e. RR -> (cos` A) = ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))

Distinct variable groups:   A,j,k,y   k,F

Proof of Theorem recos4pt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recosvalt 7376	. 2 |- (A e. RR -> (cos` A) = (Re` (exp` (i x. A))))
2		efit4pt.1	. . . . 5 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((i x. A)^j) / (!` j)))}
3	2	efi4pt 7377	. . . 4 |- (A e. RR -> (exp` (i x. A)) = (((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k)))
4	3	fveq2d 3713	. . 3 |- (A e. RR -> (Re` (exp` (i x. A))) = (Re` (((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))
5		readdt 6740	. . . 4 |- ((((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) e. CC /\ sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k) e. CC) -> (Re` (((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))) = ((Re` ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6))))) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))
6		axaddcl 5243	. . . . 5 |- (((1 - ((A^2) / 2)) e. CC /\ (i x. (A - ((A^3) / 6))) e. CC) -> ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) e. CC)
7		resqclt 6552	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (A^2) e. RR)
8		rehalfclt 5981	. . . . . . . 8 |- ((A^2) e. RR -> ((A^2) / 2) e. RR)
9	7, 8	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((A^2) / 2) e. RR)
10		1re 5407	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
11		resubclt 5410	. . . . . . . 8 |- ((1 e. RR /\ ((A^2) / 2) e. RR) -> (1 - ((A^2) / 2)) e. RR)
12	10, 11	mpan 693	. . . . . . 7 |- (((A^2) / 2) e. RR -> (1 - ((A^2) / 2)) e. RR)
13	9, 12	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (1 - ((A^2) / 2)) e. RR)
14	13	recnd 5287	. . . . 5 |- (A e. RR -> (1 - ((A^2) / 2)) e. CC)
15		3nn 5947	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN
16	15	nnnn0 6054	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. NN0
17		reexpclt 6512	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ 3 e. NN0) -> (A^3) e. RR)
18	16, 17	mpan2 694	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (A^3) e. RR)
19		6re 5931	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. RR
20		6pos 5941	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 6
21	19, 20	gt0ne0i 5591	. . . . . . . . . 10 |- 6 =/= 0
22		redivclt 5756	. . . . . . . . . 10 |- (((A^3) e. RR /\ 6 e. RR /\ 6 =/= 0) -> ((A^3) / 6) e. RR)
23	19, 21, 22	mp3an23 905	. . . . . . . . 9 |- ((A^3) e. RR -> ((A^3) / 6) e. RR)
24	18, 23	syl 10	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> ((A^3) / 6) e. RR)
25		resubclt 5410	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ ((A^3) / 6) e. RR) -> (A - ((A^3) / 6)) e. RR)
26	24, 25	mpdan 702	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (A - ((A^3) / 6)) e. RR)
27	26	recnd 5287	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (A - ((A^3) / 6)) e. CC)
28		axicn 5242	. . . . . . 7 |- i e. CC
29		axmulcl 5245	. . . . . . 7 |- ((i e. CC /\ (A - ((A^3) / 6)) e. CC) -> (i x. (A - ((A^3) / 6))) e. CC)
30	28, 29	mpan 693	. . . . . 6 |- ((A - ((A^3) / 6)) e. CC -> (i x. (A - ((A^3) / 6))) e. CC)
31	27, 30	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> (i x. (A - ((A^3) / 6))) e. CC)
32	6, 14, 31	sylanc 471	. . . 4 |- (A e. RR -> ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) e. CC)
33		recnt 5285	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. CC)
34		axmulcl 5245	. . . . . . 7 |- ((i e. CC /\ A e. CC) -> (i x. A) e. CC)
35	28, 34	mpan 693	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (i x. A) e. CC)
36	33, 35	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> (i x. A) e. CC)
37		4nn 5949	. . . . . 6 |- 4 e. NN
38	2	eftlclt 7321	. . . . . 6 |- (((i x. A) e. CC /\ 4 e. NN) -> sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k) e. CC)
39	37, 38	mpan2 694	. . . . 5 |- ((i x. A) e. CC -> sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k) e. CC)
40	36, 39	syl 10	. . . 4 |- (A e. RR -> sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k) e. CC)
41	5, 32, 40	sylanc 471	. . 3 |- (A e. RR -> (Re` (((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))) = ((Re` ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6))))) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))
42		crret 6702	. . . . 5 |- (((1 - ((A^2) / 2)) e. RR /\ (A - ((A^3) / 6)) e. RR) -> (Re` ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6))))) = (1 - ((A^2) / 2)))
43	42, 13, 26	sylanc 471	. . . 4 |- (A e. RR -> (Re` ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6))))) = (1 - ((A^2) / 2)))
44	43	opreq1d 3960	. . 3 |- (A e. RR -> ((Re` ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6))))) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))) = ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))
45	4, 41, 44	3eqtrd 1503	. 2 |- (A e. RR -> (Re` (exp` (i x. A))) = ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))
46	1, 45	eqtrd 1499	1 |- (A e. RR -> (cos` A) = ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  {copab 2656  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264   / cdiv 5266  NNcn 5268  NN0cn0 5269  2c2 5908  3c3 5909  4c4 5910  6c6 5912  ZZ>cuz 6349  ^cexp 6500  Recre 6678  !cfa 6868  sum_csu 6917  expce 7235  cosccos 7238

This theorem is referenced by:  cos01bndlem3 7413

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-5 5920  df-6 5921  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-clim 6913  df-sum 6918  df-ef 7240  df-cos 7243

Copyright terms: Public domain