Theorem recnt 5293

Description: A real number is a complex number.

Assertion

Ref	Expression
recnt	|- (A e. RR -> A e. CC)

Proof of Theorem recnt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axresscn 5248	. 2 |- RR (_ CC
2	1	sseli 2061	1 |- (A e. RR -> A e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 956  CCcc 5212  RRcr 5213

This theorem is referenced by:  recnd 5295  cnegextlem1 5325  cnegextlem2 5326  cnegextlem3 5327  cnegext 5328  renegcl 5396  resubclt 5418  pnfnre 5476  mnfnre 5477  ltadd2t 5606  leadd2t 5608  ltsubadd2t 5610  lesubadd2t 5612  ltaddsub2t 5614  leaddsub2t 5616  addgtge0t 5630  ltaddpost 5632  ltaddpos2t 5633  posdift 5635  ltnegcon1t 5637  lenegcon1t 5639  lenegcon2t 5640  lesub1t 5641  lesub2t 5642  ltsub1t 5643  ltsub2t 5644  addge01t 5653  addge02t 5654  subge0t 5655  suble0t 5656  recext 5665  redivcl 5762  ltm1t 5779  prodgt02t 5791  prodge02t 5793  ltmul2t 5795  lemul1t 5796  lemul2t 5797  lemul1it 5801  lemul1itOLD 5802  lemul2it 5803  lemul2itOLD 5804  mulgt1t 5809  ltmulgt11t 5810  ltmulgt12t 5811  lemulge11t 5812  gt0divt 5815  ge0divt 5816  ltmuldiv2t 5826  ltdivmult 5827  ledivmult 5828  ltdivmul2t 5829  lt2mul2divt 5830  ledivmul2t 5831  lemuldiv2t 5833  ltdiv2t 5843  ltrec1t 5844  lerec2t 5845  ledivdivt 5846  lediv2t 5847  ltdiv23t 5848  lediv23t 5849  lediv12it 5852  recp1lt1 5857  ledivp1t 5861  nnge1t 5899  nnleltp1t 5909  lt2halvest 5997  avglet 5999  infm3lem 6008  reuunineg 6021  infmrcl 6024  nnreclt 6027  elznn0 6104  elznn 6105  zaddclt 6120  elnn0nn 6126  zmulclt 6135  zltp1let 6136  gtndivt 6148  zeot 6154  dfuz 6158  uzindOLD 6164  rebtwnz 6178  zqt 6206  qbtwnre 6224  icoshftf1oi 6350  expgt0t 6528  expge0t 6530  expgt1t 6531  expge1t 6532  expordit 6539  expord2t 6543  expmwordit 6545  expubndt 6547  sqgt0t 6561  lt2sqt 6569  le2sqt 6570  sqlecant 6580  bernneq 6591  bernneq2 6592  expnbndt 6593  discrlem3 6596  crutOLD 6677  rimul 6683  crret 6710  crretOLD 6711  crimt 6712  crimtOLD 6713  reim0t 6719  cjret 6753  cjreimt 6771  cjreim2t 6772  absreimsqt 6799  absreimt 6800  absdivz 6802  absnidt 6806  leabst 6807  absret 6809  absresqt 6810  abssubne0t 6828  absdifltt 6829  absdiflet 6830  lenegsqt 6831  releabst 6832  abssuble0t 6842  seq1ublem 6856  2climnn 7047  2climnn0 7048  climrecl 7055  climge0 7057  climaddlem3 7060  climmullem5 7068  climcmplem 7081  climcmpc1 7083  climsqueeze 7084  climsqueeze2 7085  climubi 7097  climsup 7099  climcau 7100  caucvg 7107  ser1f0 7114  iserzgt0 7154  cvgratlem1 7193  cvgratlem2 7194  cvgratlem5 7197  ivthlem1 7224  eftabs 7325  reeftlclt 7330  reeff1 7358  absefm1le 7360  reeff1o 7376  resinvalt 7383  recosvalt 7384  efi4pt 7385  resin4pt 7386  recos4pt 7387  resinclt 7388  recosclt 7389  efieq 7400  sinbndt 7415  cosbndt 7416  cos01bndlem3 7421  absefit 7432  abseft 7433  znnen 7453  bl2in 7795  remetdval 7860  bl2ioo 7863  ioo2bl 7864  tgioolem 7866  lmuni 7902  lmle 7911  lmcau 7946  readdsubg 8081  nvsge0 8243  nmoub3i 8381  nmlnoubi 8401  isblo3i 8405  blocnilem 8408  ipasslem3 8436  ipasslem9 8442  ipasslem11 8444  ubthlem9 8481  minveclem24 8512  minveclem26 8514  pilem1 8609  pilem3 8611  sincosq1sgn 8640  sincosq2sgn 8641  sincosq3sgn 8642  sincosq4sgn 8643  sinq12gt0t 8644  efif 8655  efifolem5 8660  efifolem6 8661  efifolem7 8662  efif1lem3 8666  efielcircOLD 8674  efielcirc 8678  shftefif1olem 8680  resslogrn 8692  relogoprlem 8708  projlem24 9148  pjthlem7 9163  nmopub2tALT 9773  nmfnleub2t 9789  hmopmt 9884  lnopcon 9901  lnfncon 9928  riesz1t 9936  leopmulit 10004  leopmult 10005  leopmul2it 10006  leopnmidt 10009  nmopleidt 10010  cdj1 10294  cdj3lem1 10295  cdj3 10302  lediv2itALT 10305  nndivlub 10358  truni1 10422  dmse1 10503  mslb1 10509  2wsms 10510  msra3 10511  iintlem1 10512  trran 10516  trnij 10517  cnvtr 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-enr 5146  df-nr 5147  df-0r 5151  df-c 5220  df-r 5224

Copyright terms: Public domain