Theorem recn 5286

Description: A real number is a complex number.

Hypothesis

Ref	Expression
recn.1	|- A e. RR

Assertion

Ref	Expression
recn	|- A e. CC

Proof of Theorem recn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axresscn 5240	. 2 |- RR (_ CC
2		recn.1	. 2 |- A e. RR
3	1, 2	sselii 2056	1 |- A e. CC

Syntax hints:   e. wcel 955  CCcc 5204  RRcr 5205

This theorem is referenced by:  renegcl 5388  ltadd1 5565  leadd2 5567  ltsubadd 5568  lesubadd 5569  addgt0 5572  addge0 5573  addgegt0 5574  add20 5576  ltneg 5577  leneg 5578  ltnegcon2 5579  mulge0 5581  lesub0 5586  msqgt0 5587  msqge0 5588  ltmullem 5614  redivcl 5754  eqneg 5760  recgt0i 5770  prodgt0lem 5774  prodgt0 5775  prodge0 5776  ltdiv1i 5779  ltmuldiv 5781  ltreci 5826  lerec 5828  lt2msq 5829  halfpos 5852  ledivp1 5854  ltdivp1 5855  nncn 5880  2cn 5927  3p2e5 5954  3p3e6 5955  4p2e6 5956  4p3e7 5957  4p4e8 5958  5p2e7 5959  5p3e8 5960  5p4e9 5961  5p5e10 5962  6p2e8 5963  6p3e9 5964  6p4e10 5965  7p2e9 5966  7p3e10 5967  8p2e10 5968  3t2e6 5970  3t3e9 5971  4t2e8 5972  5t2e10 5973  4d2e2 5974  8th4div3 5978  halfpm6th 5979  nn0cn 6058  nneo 6144  dfuz 6150  icoshftf1oi 6342  lt2sq 6555  le2sq 6556  sq11 6557  sqge0 6559  sq3 6570  discrlem1 6586  discrlem3 6588  nnesq 6592  nn0opth 6596  sqrlem1 6603  sqrlem2 6604  sqrlem10 6612  sqrlem11 6613  sqrlem15 6617  sqrlem16 6618  sqrlem19 6621  sqrlem20 6622  sqrmuli 6634  sqrsq 6650  sqr2irrlem1 6654  sqr2irrlem4 6657  crulem 6666  cru 6667  crrecz 6672  cjcj 6713  rereb 6715  cjreb 6716  recj 6717  imcj 6718  readd 6719  imadd 6720  remul 6721  immul 6722  cjadd 6723  cjmul 6724  ipcn 6725  cjmulval 6727  reneg 6729  negreb 6730  imneg 6731  cjneg 6732  addcj 6733  reret 6734  abs00 6777  absdivz 6794  absid 6796  leabs 6807  abslt 6810  absle 6811  absltOLD 6812  absleOLD 6813  recvalz 6825  cjdiv 6826  abstri 6829  abs3lem 6838  abs1m 6841  abslem2i 6845  fac3 6875  faclbnd4lem1 6885  climshft 7041  climshft2 7043  iserzshft2 7044  climsup 7091  caucvg 7099  cvgcmp2lem 7116  cvgcmp2clem 7118  infcvglem1 7156  infcvglem2 7157  fnsmnt 7161  expcnvlem2 7163  0.999... 7181  cvgratlem1ALT 7182  cvgratlem2ALT 7183  ivthlem1 7216  ivthlem6 7221  ivthlem7 7222  dsupivthlem 7226  ivthlem6OLD 7230  ivthlem7OLD 7231  efcltlem1 7246  reefcl 7259  erelem2 7262  efaddlem8 7287  efaddlem12 7291  efaddlem16 7295  efaddlem20 7299  efaddlem22 7301  ef01tllem1 7325  ef01tllem2 7326  absef01tllem 7328  eirrlem1 7330  eirrlem3 7332  eirrlem5 7334  effsumle 7338  efge1 7342  efge1p 7343  efgt0 7345  eflt 7347  absefm1le 7352  eflegeolem2 7354  efm1legeo 7357  efcnlem1 7359  reeff1olem1 7364  reeff1olem1OLD 7366  efi4pt 7377  sin01bndlem1 7409  sin01bndlem2 7410  sin01bndlem3 7411  cos01bndlem2 7412  cos01bndlem3 7413  cos2bnd 7417  cos01gt0 7419  sin4lt0 7423  ruclem1 7453  ruclem2 7454  ruclem3 7455  ipval2 8291  4ipval2 8292  4ipval3 8296  ipid 8297  ipcl 8299  ipcj 8301  ip0r 8304  ip1cnilem4 8310  ip1cnilem5 8311  ip1cnilem6 8312  nmblolbii 8390  ip0i 8415  ip1ilem 8416  ipasslem10 8430  siilem1 8442  siii 8444  minveclem26 8501  minveclem27 8502  minveclem30 8505  minveclem36 8511  minveclem38 8513  pilem1 8590  pilem3 8592  sinhalfpilem 8598  cospi 8601  eulerid 8602  sin2pi 8603  cos2pi 8604  sinperlem1 8605  sinperlem2 8606  sinper 8609  cosper 8610  sin2pim 8611  cos2pim 8612  sinmpi 8613  cosmpi 8614  efimpi 8615  sinhalfpip 8616  sinhalfpim 8617  coshalfpip 8618  coshalfpim 8619  sincosq1sgn 8621  sincosq2sgn 8622  sincosq3sgn 8623  sincosq4sgn 8624  sinq12gt0t 8625  sincosq1eq 8626  sincos4thpi 8627  sincos6thpi 8628  cosh111lem1 8629  efifolem2 8638  efifolem3 8639  efifolem4 8640  efifolem6 8642  efif1lem1 8645  efif1lem2 8646  efif1lem4 8648  efif1lem5 8649  shftefif1olem 8661  shftefif1olemOLD 8662  efper 8669  eff1o 8670  pilog 8690  normlem1 8897  normlem3 8899  normlem5 8901  normlem6 8902  norm-ii 8925  normsub 8929  norm3adif 8936  norm3lem 8937  normpar2 8944  polid2 8945  bcsALT 8967  projlem3 9104  projlem4 9105  projlem5 9106  projlem7 9108  projlem12 9113  projlem13 9114  projlem18 9119  projlem26 9127  pjthlem5 9138  pjthlem8 9141  pjthlem11 9144  pjnel 9585  lnopeq0 9847  lnophmlem2 9857  nmbdoplb 9864  nmcoplb 9873  nmophm 9876  nmbdfnlb 9893  nmcfnlb 9902  cnlnadjlem2 9916  cnlnadjlem7 9921  nmopadjlem 9937  nmopco 9942  nmopcoadj 9948  unierr 9950

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-enr 5138  df-nr 5139  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216

Copyright terms: Public domain