Theorem reclem4pr 5131

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	|- B = {x | E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}

Assertion

Ref	Expression
reclem4pr	|- (A e. P. -> (A .P. B) = 1P)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B

Proof of Theorem reclem4pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . . . 7 |- B = {x | E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}
2	1	reclem2pr 5129	. . . . . 6 |- (A e. P. -> B e. P.)
3		df-mp 5061	. . . . . . 7 |- .P. = {<.<.y, w>., v>. | ((y e. P. /\ w e. P.) /\ v = {u | E.f e. y E.g e. w u = (f .Q g)})}
4		visset 1804	. . . . . . 7 |- w e. V
5	3, 4	genpelv 5075	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (w e. (A .P. B) <-> E.zE.x((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x))))
6	2, 5	mpdan 702	. . . . 5 |- (A e. P. -> (w e. (A .P. B) <-> E.zE.x((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x))))
7		elprpq 5067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> z e. Q.)
8		visset 1804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- x e. V
9		visset 1804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- y e. V
10	8, 9	ltmpq 5049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (z e. Q. -> (x <Q y <-> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
11	7, 10	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y <-> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
12	11	biimpd 153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y -> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
13	12	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (x <Q y -> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
14		prub 5070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ (*Q` y) e. Q.) -> (-. (*Q` y) e. A -> z <Q (*Q` y)))
15		recclpq 5044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. Q. -> (*Q` y) e. Q.)
16	14, 15	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (-. (*Q` y) e. A -> z <Q (*Q` y)))
17		visset 1804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- z e. V
18		fvex 3717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (*Q` y) e. V
19	17, 18	ltmpq 5049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. Q. -> (z <Q (*Q` y) <-> (y .Q z) <Q (y .Q (*Q` y))))
20	9, 17	mulcompq 5036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y .Q z) = (z .Q y)
21	20	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. Q. -> (y .Q z) = (z .Q y))
22		recidpq 5043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. Q. -> (y .Q (*Q` y)) = 1Q)
23	21, 22	breq12d 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. Q. -> ((y .Q z) <Q (y .Q (*Q` y)) <-> (z .Q y) <Q 1Q))
24	19, 23	bitrd 526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. Q. -> (z <Q (*Q` y) <-> (z .Q y) <Q 1Q))
25	24	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (z <Q (*Q` y) <-> (z .Q y) <Q 1Q))
26	16, 25	sylibd 202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q y) <Q 1Q))
27	13, 26	anim12d 556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> ((x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> ((z .Q x) <Q (z .Q y) /\ (z .Q y) <Q 1Q)))
28		oprex 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z .Q x) e. V
29		ltsopq 5047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <Q Or Q.
30		ltrelpq 5023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
31		oprex 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z .Q y) e. V
32		1q 5029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1Q e. Q.
33	32	elisseti 1809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1Q e. V
34	28, 29, 30, 31, 33	sotri 3429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((z .Q x) <Q (z .Q y) /\ (z .Q y) <Q 1Q) -> (z .Q x) <Q 1Q)
35	27, 34	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> ((x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> (z .Q x) <Q 1Q))
36	35	exp4b 379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (y e. Q. -> (x <Q y -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q x) <Q 1Q))))
37	9, 30	brel 3213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x <Q y -> (x e. Q. /\ y e. Q.))
38	37	pm3.27d 325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x <Q y -> y e. Q.)
39	36, 38	syl5 21	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y -> (x <Q y -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q x) <Q 1Q))))
40	39	pm2.43d 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q x) <Q 1Q)))
41	40	imp3a 361	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> ((x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> (z .Q x) <Q 1Q))
42	41	19.23adv 1209	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> (z .Q x) <Q 1Q))
43	1	abeq2i 1562	. . . . . . . . . 10 |- (x e. B <-> E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A))
44	42, 43	syl5ib 206	. . . . . . . . 9 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x e. B -> (z .Q x) <Q 1Q))
45		breq1 2612	. . . . . . . . . 10 |- (w = (z .Q x) -> (w <Q 1Q <-> (z .Q x) <Q 1Q))
46	45	biimprcd 156	. . . . . . . . 9 |- ((z .Q x) <Q 1Q -> (w = (z .Q x) -> w <Q 1Q))
47	44, 46	syl6 22	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x e. B -> (w = (z .Q x) -> w <Q 1Q)))
48	47	ex 373	. . . . . . 7 |- (A e. P. -> (z e. A -> (x e. B -> (w = (z .Q x) -> w <Q 1Q))))
49	48	imp4c 366	. . . . . 6 |- (A e. P. -> (((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x)) -> w <Q 1Q))
50	49	19.23advv 1292	. . . . 5 |- (A e. P. -> (E.zE.x((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x)) -> w <Q 1Q))
51	6, 50	sylbid 203	. . . 4 |- (A e. P. -> (w e. (A .P. B) -> w <Q 1Q))
52		df-1p 5059	. . . . 5 |- 1P = {w | w <Q 1Q}
53	52	abeq2i 1562	. . . 4 |- (w e. 1P <-> w <Q 1Q)
54	51, 53	syl6ibr 213	. . 3 |- (A e. P. -> (w e. (A .P. B) -> w e. 1P))
55	54	ssrdv 2060	. 2 |- (A e. P. -> (A .P. B) (_ 1P)
56	1	reclem3pr 5130	. 2 |- (A e. P. -> 1P (_ (A .P. B))
57	55, 56	eqssd 2069	1 |- (A e. P. -> (A .P. B) = 1P)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  {cab 1456   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  Q.cnq 4951  1Qc1q 4952   .Q cmq 4954  *Qcrq 4955   <Q cltq 4956  P.cnp 4957  1Pc1p 4958   .P. cmp 4960

This theorem is referenced by:  recexpr 5132

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-mp 5061

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