Theorem recjt 6753

Description: The real part of a number in terms of complex conjugate.

Assertion

Ref	Expression
recjt	|- (A e. CC -> (Re` A) = ((A + (*` A)) / 2))

Proof of Theorem recjt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 5927	. . . 4 |- 2 e. CC
2		2ne0 5937	. . . . 5 |- 2 =/= 0
3		divdirt 5713	. . . . 5 |- ((((Re` A) e. CC /\ (Re` A) e. CC /\ 2 e. CC) /\ 2 =/= 0) -> (((Re` A) + (Re` A)) / 2) = (((Re` A) / 2) + ((Re` A) / 2)))
4	2, 3	mpan2 694	. . . 4 |- (((Re` A) e. CC /\ (Re` A) e. CC /\ 2 e. CC) -> (((Re` A) + (Re` A)) / 2) = (((Re` A) / 2) + ((Re` A) / 2)))
5	1, 4	mp3an3 902	. . 3 |- (((Re` A) e. CC /\ (Re` A) e. CC) -> (((Re` A) + (Re` A)) / 2) = (((Re` A) / 2) + ((Re` A) / 2)))
6		reclt 6688	. . . 4 |- (A e. CC -> (Re` A) e. RR)
7	6	recnd 5287	. . 3 |- (A e. CC -> (Re` A) e. CC)
8	5, 7, 7	sylanc 471	. 2 |- (A e. CC -> (((Re` A) + (Re` A)) / 2) = (((Re` A) / 2) + ((Re` A) / 2)))
9		replimt 6692	. . . . 5 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + (i x. (Im` A))))
10		cjvalt 6695	. . . . 5 |- (A e. CC -> (*` A) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))
11	9, 10	opreq12d 3963	. . . 4 |- (A e. CC -> (A + (*` A)) = (((Re` A) + (i x. (Im` A))) + ((Re` A) - (i x. (Im` A)))))
12		negsubt 5354	. . . . . 6 |- (((Re` A) e. CC /\ (i x. (Im` A)) e. CC) -> ((Re` A) + -u(i x. (Im` A))) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))
13		imclt 6689	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
14	13	recnd 5287	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (Im` A) e. CC)
15		axicn 5242	. . . . . . . 8 |- i e. CC
16		axmulcl 5245	. . . . . . . 8 |- ((i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (i x. (Im` A)) e. CC)
17	15, 16	mpan 693	. . . . . . 7 |- ((Im` A) e. CC -> (i x. (Im` A)) e. CC)
18	14, 17	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (i x. (Im` A)) e. CC)
19	12, 7, 18	sylanc 471	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((Re` A) + -u(i x. (Im` A))) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))
20	19	opreq2d 3961	. . . 4 |- (A e. CC -> (((Re` A) + (i x. (Im` A))) + ((Re` A) + -u(i x. (Im` A)))) = (((Re` A) + (i x. (Im` A))) + ((Re` A) - (i x. (Im` A)))))
21		negidt 5351	. . . . . . 7 |- ((i x. (Im` A)) e. CC -> ((i x. (Im` A)) + -u(i x. (Im` A))) = 0)
22	14, 17, 21	3syl 20	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ((i x. (Im` A)) + -u(i x. (Im` A))) = 0)
23	22	opreq2d 3961	. . . . 5 |- (A e. CC -> (((Re` A) + (Re` A)) + ((i x. (Im` A)) + -u(i x. (Im` A)))) = (((Re` A) + (Re` A)) + 0))
24		add4t 5310	. . . . . 6 |- ((((Re` A) e. CC /\ (Re` A) e. CC) /\ ((i x. (Im` A)) e. CC /\ -u(i x. (Im` A)) e. CC)) -> (((Re` A) + (Re` A)) + ((i x. (Im` A)) + -u(i x. (Im` A)))) = (((Re` A) + (i x. (Im` A))) + ((Re` A) + -u(i x. (Im` A)))))
25		negclt 5340	. . . . . . 7 |- ((i x. (Im` A)) e. CC -> -u(i x. (Im` A)) e. CC)
26	14, 17, 25	3syl 20	. . . . . 6 |- (A e. CC -> -u(i x. (Im` A)) e. CC)
27	24, 7, 7, 18, 26	syl2anc 472	. . . . 5 |- (A e. CC -> (((Re` A) + (Re` A)) + ((i x. (Im` A)) + -u(i x. (Im` A)))) = (((Re` A) + (i x. (Im` A))) + ((Re` A) + -u(i x. (Im` A)))))
28	7, 7	jca 288	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ((Re` A) e. CC /\ (Re` A) e. CC))
29		axaddcl 5243	. . . . . 6 |- (((Re` A) e. CC /\ (Re` A) e. CC) -> ((Re` A) + (Re` A)) e. CC)
30		ax0id 5253	. . . . . 6 |- (((Re` A) + (Re` A)) e. CC -> (((Re` A) + (Re` A)) + 0) = ((Re` A) + (Re` A)))
31	28, 29, 30	3syl 20	. . . . 5 |- (A e. CC -> (((Re` A) + (Re` A)) + 0) = ((Re` A) + (Re` A)))
32	23, 27, 31	3eqtr3d 1507	. . . 4 |- (A e. CC -> (((Re` A) + (i x. (Im` A))) + ((Re` A) + -u(i x. (Im` A)))) = ((Re` A) + (Re` A)))
33	11, 20, 32	3eqtr2rd 1506	. . 3 |- (A e. CC -> ((Re` A) + (Re` A)) = (A + (*` A)))
34	33	opreq1d 3960	. 2 |- (A e. CC -> (((Re` A) + (Re` A)) / 2) = ((A + (*` A)) / 2))
35		2halvest 5986	. . 3 |- ((Re` A) e. CC -> (((Re` A) / 2) + ((Re` A) / 2)) = (Re` A))
36	7, 35	syl 10	. 2 |- (A e. CC -> (((Re` A) / 2) + ((Re` A) / 2)) = (Re` A))
37	8, 34, 36	3eqtr3rd 1508	1 |- (A e. CC -> (Re` A) = ((A + (*` A)) / 2))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264  -ucneg 5265   / cdiv 5266  2c2 5908  Recre 6678  Imcim 6679  *ccj 6680

This theorem is referenced by:  recosvalt 7376  lnopunilem1 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-2 5917  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684

Copyright terms: Public domain