Theorem recgt0i 5778

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21.

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	|- A e. RR
recgt0i.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
recgt0i	|- 0 < (1 / A)

Proof of Theorem recgt0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5249	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		ltplus1.1	. . . . . . 7 |- A e. RR
3	2	recn 5294	. . . . . 6 |- A e. CC
4		ax1ne0 5260	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
5		recgt0i.2	. . . . . . 7 |- 0 < A
6	2, 5	gt0ne0i 5599	. . . . . 6 |- A =/= 0
7	1, 3, 4, 6	divne0 5701	. . . . 5 |- (1 / A) =/= 0
8		necom 1633	. . . . 5 |- ((1 / A) =/= 0 <-> 0 =/= (1 / A))
9	7, 8	mpbi 189	. . . 4 |- 0 =/= (1 / A)
10		df-ne 1584	. . . 4 |- (0 =/= (1 / A) <-> -. 0 = (1 / A))
11	9, 10	mpbi 189	. . 3 |- -. 0 = (1 / A)
12		lt01 5661	. . . . 5 |- 0 < 1
13		0re 5420	. . . . . 6 |- 0 e. RR
14		1re 5415	. . . . . 6 |- 1 e. RR
15	13, 14	ltnsym 5558	. . . . 5 |- (0 < 1 -> -. 1 < 0)
16	12, 15	ax-mp 7	. . . 4 |- -. 1 < 0
17	2, 6	rereccl 5765	. . . . . . . . 9 |- (1 / A) e. RR
18	17	renegcl 5396	. . . . . . . 8 |- -u(1 / A) e. RR
19	18, 2	mulgt0 5588	. . . . . . 7 |- ((0 < -u(1 / A) /\ 0 < A) -> 0 < (-u(1 / A) x. A))
20	5, 19	mpan2 695	. . . . . 6 |- (0 < -u(1 / A) -> 0 < (-u(1 / A) x. A))
21	17	recn 5294	. . . . . . . 8 |- (1 / A) e. CC
22	21, 3	mulneg1 5425	. . . . . . 7 |- (-u(1 / A) x. A) = -u((1 / A) x. A)
23	21, 3	mulcom 5303	. . . . . . . . 9 |- ((1 / A) x. A) = (A x. (1 / A))
24	3, 6	recid 5704	. . . . . . . . 9 |- (A x. (1 / A)) = 1
25	23, 24	eqtr 1492	. . . . . . . 8 |- ((1 / A) x. A) = 1
26	25	negeqi 5340	. . . . . . 7 |- -u((1 / A) x. A) = -u1
27	22, 26	eqtr 1492	. . . . . 6 |- (-u(1 / A) x. A) = -u1
28	20, 27	syl6breq 2649	. . . . 5 |- (0 < -u(1 / A) -> 0 < -u1)
29		lt0neg1t 5649	. . . . . 6 |- ((1 / A) e. RR -> ((1 / A) < 0 <-> 0 < -u(1 / A)))
30	17, 29	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((1 / A) < 0 <-> 0 < -u(1 / A))
31		lt0neg1t 5649	. . . . . 6 |- (1 e. RR -> (1 < 0 <-> 0 < -u1))
32	14, 31	ax-mp 7	. . . . 5 |- (1 < 0 <-> 0 < -u1)
33	28, 30, 32	3imtr4 219	. . . 4 |- ((1 / A) < 0 -> 1 < 0)
34	16, 33	mto 106	. . 3 |- -. (1 / A) < 0
35	11, 34	pm3.2ni 579	. 2 |- -. (0 = (1 / A) \/ (1 / A) < 0)
36		axlttri 5483	. . 3 |- ((0 e. RR /\ (1 / A) e. RR) -> (0 < (1 / A) <-> -. (0 = (1 / A) \/ (1 / A) < 0)))
37	13, 17, 36	mp2an 696	. 2 |- (0 < (1 / A) <-> -. (0 = (1 / A) \/ (1 / A) < 0))
38	35, 37	mpbir 190	1 |- 0 < (1 / A)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   \/ wo 222   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   x. cmul 5219  -ucneg 5273   / cdiv 5274   < clt 5466

This theorem is referenced by:  prodgt0lem 5782  ltdiv1i 5787  halfgt0 5984  expcnvlem2 7171  0.999... 7189  sin01bndlem2 7418  cos01bndlem2 7420  sincos2sgn 7430  projlem7 9131

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680

Copyright terms: Public domain