HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem recextlem2 5683
Description: Lemma for recext 5684.
Assertion
Ref Expression
recextlem2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
Proof of Theorem recextlem2
StepHypRef Expression
1 gt0ne0t 5618 . 2 |- ((((A x. A) + (B x. B)) e. RR /\ 0 < ((A x. A) + (B x. B))) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
2 axaddrcl 5272 . . . 4 |- (((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
3 axmulrcl 5274 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ A e. RR) -> (A x. A) e. RR)
43anidms 434 . . . 4 |- (A e. RR -> (A x. A) e. RR)
5 axmulrcl 5274 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ B e. RR) -> (B x. B) e. RR)
65anidms 434 . . . 4 |- (B e. RR -> (B x. B) e. RR)
72, 4, 6syl2an 454 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
873adant3 799 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
9 addgtge0t 5649 . . . . . 6 |- ((((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) /\ (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B))) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
104, 6anim12i 333 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
1110adantr 389 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
12 msqgt0t 5615 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> 0 < (A x. A))
13 msqge0t 5616 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> 0 <_ (B x. B))
1412, 13anim12i 333 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ A =/= 0) /\ B e. RR) -> (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B)))
1514an1rs 489 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B)))
169, 11, 15sylanc 471 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
17 addgegt0t 5648 . . . . . 6 |- ((((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) /\ (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B))) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
1810adantr 389 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
19 msqge0t 5616 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> 0 <_ (A x. A))
20 msqgt0t 5615 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ B =/= 0) -> 0 < (B x. B))
2119, 20anim12i 333 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ B =/= 0)) -> (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B)))
2221anassrs 441 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B)))
2317, 18, 22sylanc 471 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
2416, 23jaodan 426 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (A =/= 0 \/ B =/= 0)) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
25 opreq12 3970 . . . . . . . 8 |- ((A = 0 /\ (i x. B) = 0) -> (A + (i x. B)) = (0 + 0))
26 opreq2 3969 . . . . . . . . 9 |- (B = 0 -> (i x. B) = (i x. 0))
27 axicn 5270 . . . . . . . . . 10 |- i e. CC
2827mul01 5431 . . . . . . . . 9 |- (i x. 0) = 0
2926, 28syl6eq 1523 . . . . . . . 8 |- (B = 0 -> (i x. B) = 0)
3025, 29sylan2 451 . . . . . . 7 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + (i x. B)) = (0 + 0))
31 0cn 5328 . . . . . . . 8 |- 0 e. CC
3231addid1 5330 . . . . . . 7 |- (0 + 0) = 0
3330, 32syl6eq 1523 . . . . . 6 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + (i x. B)) = 0)
3433necon3ai 1606 . . . . 5 |- ((A + (i x. B)) =/= 0 -> -. (A = 0 /\ B = 0))
35 neorian 1640 . . . . 5 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> -. (A = 0 /\ B = 0))
3634, 35sylibr 200 . . . 4 |- ((A + (i x. B)) =/= 0 -> (A =/= 0 \/ B =/= 0))
3724, 36sylan2 451 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
38373impa 828 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
391, 8, 38sylanc 471 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234  ici 5236   + caddc 5237   x. cmul 5239   <_ cle 5295   < clt 5486
This theorem is referenced by:  recext 5684
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491
Copyright terms: Public domain