HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem recextlem1 5655
Description: Lemma for recext 5657.
Assertion
Ref Expression
recextlem1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B))) = ((A x. A) + (B x. B)))
Proof of Theorem recextlem1
StepHypRef Expression
1 adddirt 5291 . . 3 |- ((A e. CC /\ (i x. B) e. CC /\ (A - (i x. B)) e. CC) -> ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B))) = ((A x. (A - (i x. B))) + ((i x. B) x. (A - (i x. B)))))
2 pm3.26 319 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> A e. CC)
3 axicn 5242 . . . . 5 |- i e. CC
4 axmulcl 5245 . . . . 5 |- ((i e. CC /\ B e. CC) -> (i x. B) e. CC)
53, 4mpan 693 . . . 4 |- (B e. CC -> (i x. B) e. CC)
65adantl 388 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (i x. B) e. CC)
7 subclt 5339 . . . 4 |- ((A e. CC /\ (i x. B) e. CC) -> (A - (i x. B)) e. CC)
87, 5sylan2 451 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A - (i x. B)) e. CC)
91, 2, 6, 8syl3anc 856 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B))) = ((A x. (A - (i x. B))) + ((i x. B) x. (A - (i x. B)))))
10 subdit 5399 . . . 4 |- ((A e. CC /\ A e. CC /\ (i x. B) e. CC) -> (A x. (A - (i x. B))) = ((A x. A) - (A x. (i x. B))))
1110, 2, 2, 6syl3anc 856 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. (A - (i x. B))) = ((A x. A) - (A x. (i x. B))))
12 subdit 5399 . . . . 5 |- (((i x. B) e. CC /\ A e. CC /\ (i x. B) e. CC) -> ((i x. B) x. (A - (i x. B))) = (((i x. B) x. A) - ((i x. B) x. (i x. B))))
1312, 6, 2, 6syl3anc 856 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((i x. B) x. (A - (i x. B))) = (((i x. B) x. A) - ((i x. B) x. (i x. B))))
14 axmulcom 5248 . . . . . 6 |- ((A e. CC /\ (i x. B) e. CC) -> (A x. (i x. B)) = ((i x. B) x. A))
1514, 5sylan2 451 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. (i x. B)) = ((i x. B) x. A))
16 axmulcl 5245 . . . . . . . . . 10 |- ((B e. CC /\ B e. CC) -> (B x. B) e. CC)
17 mulm1t 5443 . . . . . . . . . 10 |- ((B x. B) e. CC -> (-u1 x. (B x. B)) = -u(B x. B))
1816, 17syl 10 . . . . . . . . 9 |- ((B e. CC /\ B e. CC) -> (-u1 x. (B x. B)) = -u(B x. B))
19 ixi 5654 . . . . . . . . . 10 |- (i x. i) = -u1
2019opreq1i 3956 . . . . . . . . 9 |- ((i x. i) x. (B x. B)) = (-u1 x. (B x. B))
2118, 20syl5req 1512 . . . . . . . 8 |- ((B e. CC /\ B e. CC) -> -u(B x. B) = ((i x. i) x. (B x. B)))
223, 3pm3.2i 285 . . . . . . . . 9 |- (i e. CC /\ i e. CC)
23 mul4t 5392 . . . . . . . . 9 |- (((i e. CC /\ i e. CC) /\ (B e. CC /\ B e. CC)) -> ((i x. i) x. (B x. B)) = ((i x. B) x. (i x. B)))
2422, 23mpan 693 . . . . . . . 8 |- ((B e. CC /\ B e. CC) -> ((i x. i) x. (B x. B)) = ((i x. B) x. (i x. B)))
2521, 24eqtrd 1499 . . . . . . 7 |- ((B e. CC /\ B e. CC) -> -u(B x. B) = ((i x. B) x. (i x. B)))
2625anidms 434 . . . . . 6 |- (B e. CC -> -u(B x. B) = ((i x. B) x. (i x. B)))
2726adantl 388 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> -u(B x. B) = ((i x. B) x. (i x. B)))
2815, 27opreq12d 3963 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. (i x. B)) - -u(B x. B)) = (((i x. B) x. A) - ((i x. B) x. (i x. B))))
2913, 28eqtr4d 1502 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((i x. B) x. (A - (i x. B))) = ((A x. (i x. B)) - -u(B x. B)))
3011, 29opreq12d 3963 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. (A - (i x. B))) + ((i x. B) x. (A - (i x. B)))) = (((A x. A) - (A x. (i x. B))) + ((A x. (i x. B)) - -u(B x. B))))
31 npncant 5372 . . . 4 |- (((A x. A) e. CC /\ (A x. (i x. B)) e. CC /\ -u(B x. B) e. CC) -> (((A x. A) - (A x. (i x. B))) + ((A x. (i x. B)) - -u(B x. B))) = ((A x. A) - -u(B x. B)))
32 axmulcl 5245 . . . . . 6 |- ((A e. CC /\ A e. CC) -> (A x. A) e. CC)
3332anidms 434 . . . . 5 |- (A e. CC -> (A x. A) e. CC)
3433adantr 389 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. A) e. CC)
35 axmulcl 5245 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ (i x. B) e. CC) -> (A x. (i x. B)) e. CC)
3635, 5sylan2 451 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. (i x. B)) e. CC)
37 negclt 5340 . . . . . . 7 |- ((B x. B) e. CC -> -u(B x. B) e. CC)
3816, 37syl 10 . . . . . 6 |- ((B e. CC /\ B e. CC) -> -u(B x. B) e. CC)
3938anidms 434 . . . . 5 |- (B e. CC -> -u(B x. B) e. CC)
4039adantl 388 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> -u(B x. B) e. CC)
4131, 34, 36, 40syl3anc 856 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. A) - (A x. (i x. B))) + ((A x. (i x. B)) - -u(B x. B))) = ((A x. A) - -u(B x. B)))
42 subnegt 5366 . . . 4 |- (((A x. A) e. CC /\ (B x. B) e. CC) -> ((A x. A) - -u(B x. B)) = ((A x. A) + (B x. B)))
4316anidms 434 . . . 4 |- (B e. CC -> (B x. B) e. CC)
4442, 33, 43syl2an 454 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. A) - -u(B x. B)) = ((A x. A) + (B x. B)))
4541, 44eqtrd 1499 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. A) - (A x. (i x. B))) + ((A x. (i x. B)) - -u(B x. B))) = ((A x. A) + (B x. B)))
469, 30, 453eqtrd 1503 1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B))) = ((A x. A) + (B x. B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (class class class)co 3948  CCcc 5204  1c1 5207  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264  -ucneg 5265
This theorem is referenced by:  recext 5657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330
Copyright terms: Public domain