Theorem recexsr 5188

Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126.

Hypothesis

Ref	Expression
recexsr.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
recexsr	|- (A e. R. -> (-. A = 0R -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recexsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexsr.1	. . 3 |- A e. V
2	1	sqgt0sr 5187	. 2 |- (A e. R. -> (-. A = 0R -> 0R <R (A .R A)))
3		oprex 3968	. . . . . . . . 9 |- (A .R y) e. V
4		eleq1 1526	. . . . . . . . . 10 |- (x = (A .R y) -> (x e. R. <-> (A .R y) e. R.))
5		opreq2 3954	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (A .R y) -> (A .R x) = (A .R (A .R y)))
6	5	eqeq1d 1475	. . . . . . . . . 10 |- (x = (A .R y) -> ((A .R x) = 1R <-> (A .R (A .R y)) = 1R))
7	4, 6	anbi12d 626	. . . . . . . . 9 |- (x = (A .R y) -> ((x e. R. /\ (A .R x) = 1R) <-> ((A .R y) e. R. /\ (A .R (A .R y)) = 1R)))
8	3, 7	cla4ev 1860	. . . . . . . 8 |- (((A .R y) e. R. /\ (A .R (A .R y)) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R))
9		visset 1804	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
10	1, 9	mulasssr 5171	. . . . . . . . 9 |- ((A .R A) .R y) = (A .R (A .R y))
11	10	eqeq1i 1474	. . . . . . . 8 |- (((A .R A) .R y) = 1R <-> (A .R (A .R y)) = 1R)
12	8, 11	sylan2b 452	. . . . . . 7 |- (((A .R y) e. R. /\ ((A .R A) .R y) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R))
13		mulclsr 5165	. . . . . . 7 |- ((A e. R. /\ y e. R.) -> (A .R y) e. R.)
14	12, 13	sylan 448	. . . . . 6 |- (((A e. R. /\ y e. R.) /\ ((A .R A) .R y) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R))
15	14	exp31 376	. . . . 5 |- (A e. R. -> (y e. R. -> (((A .R A) .R y) = 1R -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R))))
16	15	imp3a 361	. . . 4 |- (A e. R. -> ((y e. R. /\ ((A .R A) .R y) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))
17	16	19.23adv 1209	. . 3 |- (A e. R. -> (E.y(y e. R. /\ ((A .R A) .R y) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))
18		oprex 3968	. . . 4 |- (A .R A) e. V
19	18	recexsrlem 5184	. . 3 |- (0R <R (A .R A) -> E.y(y e. R. /\ ((A .R A) .R y) = 1R))
20	17, 19	syl5 21	. 2 |- (A e. R. -> (0R <R (A .R A) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))
21	2, 20	syld 27	1 |- (A e. R. -> (-. A = 0R -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  Vcvv 1802   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  R.cnr 4965  0Rc0r 4966  1Rc1r 4967   .R cmr 4970   <R cltr 4971

This theorem is referenced by:  axrrecex 5256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145

Copyright terms: Public domain