Theorem rebtwnz 6178

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number. Exercise 4 of [Apostol] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
rebtwnz	|- (A e. RR -> E!x e. ZZ (x <_ A /\ A < (x + 1)))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem rebtwnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegclt 5417	. . 3 |- (A e. RR -> -uA e. RR)
2		zbtwnre 6177	. . 3 |- (-uA e. RR -> E!y e. ZZ (-uA <_ y /\ y < (-uA + 1)))
3	1, 2	syl 10	. 2 |- (A e. RR -> E!y e. ZZ (-uA <_ y /\ y < (-uA + 1)))
4		lenegt 5638	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> (x <_ A <-> -uA <_ -ux))
5	4	ancoms 436	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ x e. RR) -> (x <_ A <-> -uA <_ -ux))
6		ltnegt 5636	. . . . . . . . 9 |- (((A - 1) e. RR /\ x e. RR) -> ((A - 1) < x <-> -ux < -u(A - 1)))
7		peano2rem 5422	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (A - 1) e. RR)
8	6, 7	sylan 448	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ x e. RR) -> ((A - 1) < x <-> -ux < -u(A - 1)))
9		1re 5415	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
10		ltsubaddt 5609	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ 1 e. RR /\ x e. RR) -> ((A - 1) < x <-> A < (x + 1)))
11	9, 10	mp3an2 902	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ x e. RR) -> ((A - 1) < x <-> A < (x + 1)))
12		recnt 5293	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> A e. CC)
13		ax1cn 5249	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
14		negsubdit 5437	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ 1 e. CC) -> -u(A - 1) = (-uA + 1))
15	13, 14	mpan2 695	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> -u(A - 1) = (-uA + 1))
16	12, 15	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (A e. RR -> -u(A - 1) = (-uA + 1))
17	16	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ x e. RR) -> -u(A - 1) = (-uA + 1))
18	17	breq2d 2625	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ x e. RR) -> (-ux < -u(A - 1) <-> -ux < (-uA + 1)))
19	8, 11, 18	3bitr3d 547	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ x e. RR) -> (A < (x + 1) <-> -ux < (-uA + 1)))
20	5, 19	anbi12d 627	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ x e. RR) -> ((x <_ A /\ A < (x + 1)) <-> (-uA <_ -ux /\ -ux < (-uA + 1))))
21		zret 6094	. . . . . 6 |- (x e. ZZ -> x e. RR)
22	20, 21	sylan2 451	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> ((x <_ A /\ A < (x + 1)) <-> (-uA <_ -ux /\ -ux < (-uA + 1))))
23	22	bicomd 520	. . . 4 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> ((-uA <_ -ux /\ -ux < (-uA + 1)) <-> (x <_ A /\ A < (x + 1))))
24	23	reubidva 1776	. . 3 |- (A e. RR -> (E!x e. ZZ (-uA <_ -ux /\ -ux < (-uA + 1)) <-> E!x e. ZZ (x <_ A /\ A < (x + 1))))
25		znegclt 6118	. . . 4 |- (x e. ZZ -> -ux e. ZZ)
26		znegclt 6118	. . . . 5 |- (y e. ZZ -> -uy e. ZZ)
27		negcon2t 5391	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ x e. CC) -> (y = -ux <-> x = -uy))
28		zcnt 6095	. . . . . 6 |- (y e. ZZ -> y e. CC)
29		zcnt 6095	. . . . . 6 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
30	27, 28, 29	syl2an 454	. . . . 5 |- ((y e. ZZ /\ x e. ZZ) -> (y = -ux <-> x = -uy))
31	26, 30	reuhyp 2900	. . . 4 |- (y e. ZZ -> E!x e. ZZ y = -ux)
32		breq2 2618	. . . . 5 |- (y = -ux -> (-uA <_ y <-> -uA <_ -ux))
33		breq1 2617	. . . . 5 |- (y = -ux -> (y < (-uA + 1) <-> -ux < (-uA + 1)))
34	32, 33	anbi12d 627	. . . 4 |- (y = -ux -> ((-uA <_ y /\ y < (-uA + 1)) <-> (-uA <_ -ux /\ -ux < (-uA + 1))))
35	25, 31, 34	reuxfr 2899	. . 3 |- (E!y e. ZZ (-uA <_ y /\ y < (-uA + 1)) <-> E!x e. ZZ (-uA <_ -ux /\ -ux < (-uA + 1)))
36	24, 35	syl5bb 531	. 2 |- (A e. RR -> (E!y e. ZZ (-uA <_ y /\ y < (-uA + 1)) <-> E!x e. ZZ (x <_ A /\ A < (x + 1))))
37	3, 36	mpbid 195	1 |- (A e. RR -> E!x e. ZZ (x <_ A /\ A < (x + 1)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E!wreu 1644   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  1c1 5215   + caddc 5217   - cmin 5272  -ucneg 5273   <_ cle 5275  ZZcz 5278   < clt 5466

This theorem is referenced by:  flclt 6182  flleltt 6183  flbit 6192

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091

Copyright terms: Public domain