Theorem rdgsucopab 3946

Description: The value of the recursive definition generator at a successor (special case where the characteristic function is an ordered pair abstraction).

Hypotheses

Ref	Expression
rdgsucopab.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
rdgsucopab.2	|- (z e. B -> A.x z e. B)
rdgsucopab.3	|- (z e. D -> A.x z e. D)
rdgsucopab.4	|- F = rec({<.x, y>. | y = C}, A)
rdgsucopab.5	|- (x = (F` B) -> C = D)

Assertion

Ref	Expression
rdgsucopab	|- ((B e. On /\ D e. R) -> (F` suc B) = D)

Distinct variable groups:   z,D   y,z,C   z,A   z,B   x,y,z

Proof of Theorem rdgsucopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsuct 3945	. . 3 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)))
2		rdgsucopab.4	. . . 4 |- F = rec({<.x, y>. | y = C}, A)
3	2	fveq1i 3725	. . 3 |- (F` suc B) = (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` suc B)
4	1, 3	syl5eq 1519	. 2 |- (B e. On -> (F` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)))
5		fvex 3732	. . 3 |- (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B) e. V
6		hbopab1 2813	. . . . . 6 |- (z e. {<.x, y>. | y = C} -> A.x z e. {<.x, y>. | y = C})
7		rdgsucopab.1	. . . . . 6 |- (z e. A -> A.x z e. A)
8	6, 7	hbrdg 3936	. . . . 5 |- (z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A) -> A.x z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A))
9		rdgsucopab.2	. . . . 5 |- (z e. B -> A.x z e. B)
10	8, 9	hbfv 3729	. . . 4 |- (z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B) -> A.x z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B))
11		rdgsucopab.3	. . . 4 |- (z e. D -> A.x z e. D)
12	2	fveq1i 3725	. . . . . 6 |- (F` B) = (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)
13	12	eqeq2i 1485	. . . . 5 |- (x = (F` B) <-> x = (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B))
14		rdgsucopab.5	. . . . 5 |- (x = (F` B) -> C = D)
15	13, 14	sylbir 201	. . . 4 |- (x = (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B) -> C = D)
16	10, 11, 15	fvopabgf 3787	. . 3 |- (((rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B) e. V /\ D e. R) -> ({<.x, y>. | y = C}` (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)) = D)
17	5, 16	mpan 695	. 2 |- (D e. R -> ({<.x, y>. | y = C}` (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)) = D)
18	4, 17	sylan9eq 1527	1 |- ((B e. On /\ D e. R) -> (F` suc B) = D)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  {copab 2666  Oncon0 2948  suc csuc 2950  ` cfv 3182  reccrdg 3931

This theorem is referenced by:  abianfplem 3961  r1suc 4652  alephon 4865  alephsuc 4866

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932

Copyright terms: Public domain