Theorem rankxpu 4721

Description: An upper bound on the rank of a cross product.

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	|- A e. V
rankxpl.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
rankxpu	|- (rank` (A X. B)) (_ suc suc (rank` (A u. B))

Proof of Theorem rankxpu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 3263	. . 3 |- (A X. B) (_ P~P~(A u. B)
2		rankxpl.1	. . . . . . 7 |- A e. V
3		rankxpl.2	. . . . . . 7 |- B e. V
4	2, 3	unex 2878	. . . . . 6 |- (A u. B) e. V
5	4	pwex 2751	. . . . 5 |- P~(A u. B) e. V
6	5	pwex 2751	. . . 4 |- P~P~(A u. B) e. V
7	6	rankss 4698	. . 3 |- ((A X. B) (_ P~P~(A u. B) -> (rank` (A X. B)) (_ (rank` P~P~(A u. B)))
8	1, 7	ax-mp 7	. 2 |- (rank` (A X. B)) (_ (rank` P~P~(A u. B))
9	5	rankpw 4694	. . 3 |- (rank` P~P~(A u. B)) = suc (rank` P~(A u. B))
10	4	rankpw 4694	. . . 4 |- (rank` P~(A u. B)) = suc (rank` (A u. B))
11		suceq 3040	. . . 4 |- ((rank` P~(A u. B)) = suc (rank` (A u. B)) -> suc (rank` P~(A u. B)) = suc suc (rank` (A u. B)))
12	10, 11	ax-mp 7	. . 3 |- suc (rank` P~(A u. B)) = suc suc (rank` (A u. B))
13	9, 12	eqtr 1498	. 2 |- (rank` P~P~(A u. B)) = suc suc (rank` (A u. B))
14	8, 13	sseqtr 2096	1 |- (rank` (A X. B)) (_ suc suc (rank` (A u. B))

Syntax hints:   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814   u. cun 2048   (_ wss 2050  P~cpw 2405  suc csuc 2956   X. cxp 3174  ` cfv 3188  rankcrnk 4652

This theorem is referenced by:  rankxplim3 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-r1 4653  df-rank 4654

Copyright terms: Public domain