Theorem rankxplim 4684

Description: The rank of a cross product when the rank of the union of its arguments is a limit ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxpsuc 4687 for the successor case.

Hypotheses

Ref	Expression
rankxplim.1	|- A e. V
rankxplim.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
rankxplim	|- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (A X. B) =/= (/)) -> (rank` (A X. B)) = (rank` (A u. B)))

Proof of Theorem rankxplim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1804	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. V
2		visset 1804	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. V
3		rankxplim.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. V
4		rankxplim.2	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. V
5	1, 2, 3, 4	rankelun 4679	. . . . . . . . . . 11 |- (((rank` x) e. (rank` A) /\ (rank` y) e. (rank` B)) -> (rank` (x u. y)) e. (rank` (A u. B)))
6	3	rankel 4652	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. A -> (rank` x) e. (rank` A))
7	4	rankel 4652	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. B -> (rank` y) e. (rank` B))
8	5, 6, 7	syl2an 454	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. A /\ y e. B) -> (rank` (x u. y)) e. (rank` (A u. B)))
9	8	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (rank` (x u. y)) e. (rank` (A u. B)))
10		ranklim 4657	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim (rank` (A u. B)) -> ((rank` (x u. y)) e. (rank` (A u. B)) <-> (rank` P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B))))
11		ranklim 4657	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim (rank` (A u. B)) -> ((rank` P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B)) <-> (rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B))))
12	10, 11	bitrd 526	. . . . . . . . . 10 |- (Lim (rank` (A u. B)) -> ((rank` (x u. y)) e. (rank` (A u. B)) <-> (rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B))))
13	12	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> ((rank` (x u. y)) e. (rank` (A u. B)) <-> (rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B))))
14	9, 13	mpbid 195	. . . . . . . 8 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B)))
15		pwuni 2747	. . . . . . . . . . . 12 |- <.x, y>. (_ P~U.<.x, y>.
16		uniop 2797	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.<.x, y>. = {x, y}
17		pweq 2393	. . . . . . . . . . . . 13 |- (U.<.x, y>. = {x, y} -> P~U.<.x, y>. = P~{x, y})
18	16, 17	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- P~U.<.x, y>. = P~{x, y}
19	15, 18	sseqtr 2083	. . . . . . . . . . 11 |- <.x, y>. (_ P~{x, y}
20		pwuni 2747	. . . . . . . . . . . . 13 |- {x, y} (_ P~U.{x, y}
21	1, 2	unipr 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.{x, y} = (x u. y)
22		pweq 2393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (U.{x, y} = (x u. y) -> P~U.{x, y} = P~(x u. y))
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- P~U.{x, y} = P~(x u. y)
24	20, 23	sseqtr 2083	. . . . . . . . . . . 12 |- {x, y} (_ P~(x u. y)
25		sspwb 2745	. . . . . . . . . . . 12 |- ({x, y} (_ P~(x u. y) <-> P~{x, y} (_ P~P~(x u. y))
26	24, 25	mpbi 189	. . . . . . . . . . 11 |- P~{x, y} (_ P~P~(x u. y)
27	19, 26	sstri 2063	. . . . . . . . . 10 |- <.x, y>. (_ P~P~(x u. y)
28	1, 2	unex 2863	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x u. y) e. V
29	28	pwex 2735	. . . . . . . . . . . 12 |- P~(x u. y) e. V
30	29	pwex 2735	. . . . . . . . . . 11 |- P~P~(x u. y) e. V
31	30	rankss 4660	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. (_ P~P~(x u. y) -> (rank` <.x, y>.) (_ (rank` P~P~(x u. y)))
32	27, 31	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (rank` <.x, y>.) (_ (rank` P~P~(x u. y))
33		rankon 4643	. . . . . . . . . 10 |- (rank` <.x, y>.) e. On
34		rankon 4643	. . . . . . . . . 10 |- (rank` (A u. B)) e. On
35		ontr2 2994	. . . . . . . . . 10 |- (((rank` <.x, y>.) e. On /\ (rank` (A u. B)) e. On) -> (((rank` <.x, y>.) (_ (rank` P~P~(x u. y)) /\ (rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B))) -> (rank` <.x, y>.) e. (rank` (A u. B))))
36	33, 34, 35	mp2an 695	. . . . . . . . 9 |- (((rank` <.x, y>.) (_ (rank` P~P~(x u. y)) /\ (rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B))) -> (rank` <.x, y>.) e. (rank` (A u. B)))
37	32, 36	mpan 693	. . . . . . . 8 |- ((rank` P~P~(x u. y)) e. (rank` (A u. B)) -> (rank` <.x, y>.) e. (rank` (A u. B)))
38	14, 37	syl 10	. . . . . . 7 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (rank` <.x, y>.) e. (rank` (A u. B)))
39	33, 34	onsucss 3101	. . . . . . 7 |- ((rank` <.x, y>.) e. (rank` (A u. B)) <-> suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B)))
40	38, 39	sylib 198	. . . . . 6 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B)))
41	40	ex 373	. . . . 5 |- (Lim (rank` (A u. B)) -> ((x e. A /\ y e. B) -> suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B))))
42	41	r19.21aivv 1712	. . . 4 |- (Lim (rank` (A u. B)) -> A.x e. A A.y e. B suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B)))
43		fveq2 3709	. . . . . . . 8 |- (z = <.x, y>. -> (rank` z) = (rank` <.x, y>.))
44		suceq 3024	. . . . . . . 8 |- ((rank` z) = (rank` <.x, y>.) -> suc (rank` z) = suc (rank` <.x, y>.))
45	43, 44	syl 10	. . . . . . 7 |- (z = <.x, y>. -> suc (rank` z) = suc (rank` <.x, y>.))
46	45	sseq1d 2078	. . . . . 6 |- (z = <.x, y>. -> (suc (rank` z) (_ (rank` (A u. B)) <-> suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B))))
47	46	ralxp 3208	. . . . 5 |- (A.z e. (A X. B)suc (rank` z) (_ (rank` (A u. B)) <-> A.x e. A A.y e. B suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B)))
48	3, 4	xpex 3250	. . . . . 6 |- (A X. B) e. V
49	48	rankbnd 4675	. . . . 5 |- (A.z e. (A X. B)suc (rank` z) (_ (rank` (A u. B)) <-> (rank` (A X. B)) (_ (rank` (A u. B)))
50	47, 49	bitr3 175	. . . 4 |- (A.x e. A A.y e. B suc (rank` <.x, y>.) (_ (rank` (A u. B)) <-> (rank` (A X. B)) (_ (rank` (A u. B)))
51	42, 50	sylib 198	. . 3 |- (Lim (rank` (A u. B)) -> (rank` (A X. B)) (_ (rank` (A u. B)))
52	51	adantr 389	. 2 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (A X. B) =/= (/)) -> (rank` (A X. B)) (_ (rank` (A u. B)))
53	3, 4	rankxpl 4682	. . 3 |- ((A X. B) =/= (/) -> (rank` (A u. B)) (_ (rank` (A X. B)))
54	53	adantl 388	. 2 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (A X. B) =/= (/)) -> (rank` (A u. B)) (_ (rank` (A X. B)))
55	52, 54	eqssd 2069	1 |- ((Lim (rank` (A u. B)) /\ (A X. B) =/= (/)) -> (rank` (A X. B)) = (rank` (A u. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637  Vcvv 1802   u. cun 2035   (_ wss 2037  (/)c0 2270  P~cpw 2391  {cpr 2400  <.cop 2401  U.cuni 2493  Oncon0 2938  Lim wlim 2939  suc csuc 2940   X. cxp 3158  ` cfv 3172  rankcrnk 4614

This theorem is referenced by:  rankxplim3 4686

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-r1 4615  df-rank 4616

Copyright terms: Public domain