Theorem rankuni2 4690

Description: The rank of a union. Part of Theorem 15.17(iv) of [Monk1] p. 112.

Hypothesis

Ref	Expression
ranksn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
rankuni2	|- (rank` U.A) = U_x e. A (rank` x)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem rankuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksn.1	. . . . 5 |- A e. V
2	1	uniex 2870	. . . 4 |- U.A e. V
3	2	rankval3 4681	. . 3 |- (rank` U.A) = |^|{z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z}
4		eleq2 1535	. . . . . . 7 |- (z = U_x e. A (rank` x) -> ((rank` y) e. z <-> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
5	4	ralbidv 1663	. . . . . 6 |- (z = U_x e. A (rank` x) -> (A.y e. U.A(rank` y) e. z <-> A.y e. U.A(rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
6	5	elrab 1905	. . . . 5 |- (U_x e. A (rank` x) e. {z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z} <-> (U_x e. A (rank` x) e. On /\ A.y e. U.A(rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
7		fvex 3732	. . . . . . 7 |- (rank` x) e. V
8	1, 7	iunon 3909	. . . . . 6 |- (A.x e. A (rank` x) e. On -> U_x e. A (rank` x) e. On)
9		rankon 4671	. . . . . . 7 |- (rank` x) e. On
10	9	a1i 8	. . . . . 6 |- (x e. A -> (rank` x) e. On)
11	8, 10	mprg 1700	. . . . 5 |- U_x e. A (rank` x) e. On
12		eluni2 2507	. . . . . . 7 |- (y e. U.A <-> E.x e. A y e. x)
13		ax-17 971	. . . . . . . . 9 |- (z e. (rank` y) -> A.x z e. (rank` y))
14		hbiu1 2584	. . . . . . . . 9 |- (z e. U_x e. A (rank` x) -> A.x z e. U_x e. A (rank` x))
15	13, 14	hbel 1566	. . . . . . . 8 |- ((rank` y) e. U_x e. A (rank` x) -> A.x(rank` y) e. U_x e. A (rank` x))
16		ssiun2 2593	. . . . . . . . . 10 |- (x e. A -> (rank` x) (_ U_x e. A (rank` x))
17	16	sseld 2067	. . . . . . . . 9 |- (x e. A -> ((rank` y) e. (rank` x) -> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
18		visset 1813	. . . . . . . . . 10 |- x e. V
19	18	rankel 4680	. . . . . . . . 9 |- (y e. x -> (rank` y) e. (rank` x))
20	17, 19	syl5 21	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> (y e. x -> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
21	15, 20	r19.23ai 1742	. . . . . . 7 |- (E.x e. A y e. x -> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x))
22	12, 21	sylbi 199	. . . . . 6 |- (y e. U.A -> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x))
23	22	rgen 1698	. . . . 5 |- A.y e. U.A(rank` y) e. U_x e. A (rank` x)
24	6, 11, 23	mpbir2an 730	. . . 4 |- U_x e. A (rank` x) e. {z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z}
25		intss1 2548	. . . 4 |- (U_x e. A (rank` x) e. {z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z} -> |^|{z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z} (_ U_x e. A (rank` x))
26	24, 25	ax-mp 7	. . 3 |- |^|{z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z} (_ U_x e. A (rank` x)
27	3, 26	eqsstr 2091	. 2 |- (rank` U.A) (_ U_x e. A (rank` x)
28		iunss 2591	. . 3 |- (U_x e. A (rank` x) (_ (rank` U.A) <-> A.x e. A (rank` x) (_ (rank` U.A))
29		elssuni 2526	. . . 4 |- (x e. A -> x (_ U.A)
30	2	rankss 4688	. . . 4 |- (x (_ U.A -> (rank` x) (_ (rank` U.A))
31	29, 30	syl 10	. . 3 |- (x e. A -> (rank` x) (_ (rank` U.A))
32	28, 31	mprgbir 1701	. 2 |- U_x e. A (rank` x) (_ (rank` U.A)
33	27, 32	eqssi 2078	1 |- (rank` U.A) = U_x e. A (rank` x)

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648  Vcvv 1811   (_ wss 2047  U.cuni 2503  |^|cint 2533  U_ciun 2566  Oncon0 2948  ` cfv 3182  rankcrnk 4642

This theorem is referenced by:  rankuni 4698  rankbnd2 4704

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-r1 4643  df-rank 4644

Copyright terms: Public domain