Theorem ranksuc 4700

Description: The rank of a successor.

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
ranksuc	|- (rank` suc A) = suc (rank` A)

Proof of Theorem ranksuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 2954	. . 3 |- suc A = (A u. {A})
2	1	fveq2i 3727	. 2 |- (rank` suc A) = (rank` (A u. {A}))
3		rankr1b.1	. . 3 |- A e. V
4		snex 2750	. . 3 |- {A} e. V
5	3, 4	rankun 4691	. 2 |- (rank` (A u. {A})) = ((rank` A) u. (rank` {A}))
6	3	ranksn 4689	. . . 4 |- (rank` {A}) = suc (rank` A)
7	6	uneq2i 2181	. . 3 |- ((rank` A) u. (rank` {A})) = ((rank` A) u. suc (rank` A))
8		sssucid 3047	. . . 4 |- (rank` A) (_ suc (rank` A)
9		ssequn1 2200	. . . 4 |- ((rank` A) (_ suc (rank` A) <-> ((rank` A) u. suc (rank` A)) = suc (rank` A))
10	8, 9	mpbi 189	. . 3 |- ((rank` A) u. suc (rank` A)) = suc (rank` A)
11	7, 10	eqtr 1495	. 2 |- ((rank` A) u. (rank` {A})) = suc (rank` A)
12	2, 5, 11	3eqtr 1499	1 |- (rank` suc A) = suc (rank` A)

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   u. cun 2045   (_ wss 2047  {csn 2409  suc csuc 2950  ` cfv 3182  rankcrnk 4642

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-r1 4643  df-rank 4644

Copyright terms: Public domain