Theorem rankpr 4692

Description: The rank of an unordered pair. Part of Exercise 30 of [Enderton] p. 207.

Hypotheses

Ref	Expression
rankun.1	|- A e. V
rankun.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
rankpr	|- (rank` {A, B}) = suc ((rank` A) u. (rank` B))

Proof of Theorem rankpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 2413	. . . 4 |- {A, B} = ({A} u. {B})
2	1	fveq2i 3727	. . 3 |- (rank` {A, B}) = (rank` ({A} u. {B}))
3		snex 2750	. . . 4 |- {A} e. V
4		snex 2750	. . . 4 |- {B} e. V
5	3, 4	rankun 4691	. . 3 |- (rank` ({A} u. {B})) = ((rank` {A}) u. (rank` {B}))
6		rankun.1	. . . . 5 |- A e. V
7	6	ranksn 4689	. . . 4 |- (rank` {A}) = suc (rank` A)
8		rankun.2	. . . . 5 |- B e. V
9	8	ranksn 4689	. . . 4 |- (rank` {B}) = suc (rank` B)
10	7, 9	uneq12i 2182	. . 3 |- ((rank` {A}) u. (rank` {B})) = (suc (rank` A) u. suc (rank` B))
11	2, 5, 10	3eqtr 1499	. 2 |- (rank` {A, B}) = (suc (rank` A) u. suc (rank` B))
12		rankon 4671	. . . 4 |- (rank` A) e. On
13	12	onord 3095	. . 3 |- Ord (rank` A)
14		rankon 4671	. . . 4 |- (rank` B) e. On
15	14	onord 3095	. . 3 |- Ord (rank` B)
16		ordsucun 3082	. . 3 |- ((Ord (rank` A) /\ Ord (rank` B)) -> suc ((rank` A) u. (rank` B)) = (suc (rank` A) u. suc (rank` B)))
17	13, 15, 16	mp2an 697	. 2 |- suc ((rank` A) u. (rank` B)) = (suc (rank` A) u. suc (rank` B))
18	11, 17	eqtr4 1498	1 |- (rank` {A, B}) = suc ((rank` A) u. (rank` B))

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   u. cun 2045  {csn 2409  {cpr 2410  Ord word 2947  suc csuc 2950  ` cfv 3182  rankcrnk 4642

This theorem is referenced by:  rankop 4693  rankelun 4707  rankelpr 4708  rankelop 4709

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-r1 4643  df-rank 4644

Copyright terms: Public domain