Theorem rankon 4681

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79.

Assertion

Ref	Expression
rankon	|- (rank` A) e. On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankvalg 4679	. . 3 |- (A e. V -> (rank` A) = |^|{x e. On | A e. (R1` suc x)})
2		rankwflem 4675	. . . . 5 |- (A e. V -> E.x e. On A e. (R1` suc x))
3		rabn0 2296	. . . . 5 |- ({x e. On | A e. (R1` suc x)} =/= (/) <-> E.x e. On A e. (R1` suc x))
4	2, 3	sylibr 200	. . . 4 |- (A e. V -> {x e. On | A e. (R1` suc x)} =/= (/))
5		ssrab2 2134	. . . . 5 |- {x e. On | A e. (R1` suc x)} (_ On
6		oninton 3018	. . . . 5 |- (({x e. On | A e. (R1` suc x)} (_ On /\ {x e. On | A e. (R1` suc x)} =/= (/)) -> |^|{x e. On | A e. (R1` suc x)} e. On)
7	5, 6	mpan 697	. . . 4 |- ({x e. On | A e. (R1` suc x)} =/= (/) -> |^|{x e. On | A e. (R1` suc x)} e. On)
8	4, 7	syl 10	. . 3 |- (A e. V -> |^|{x e. On | A e. (R1` suc x)} e. On)
9	1, 8	eqeltrd 1551	. 2 |- (A e. V -> (rank` A) e. On)
10		fvprc 3727	. . 3 |- (-. A e. V -> (rank` A) = (/))
11		0elon 3028	. . 3 |- (/) e. On
12	10, 11	syl6eqel 1559	. 2 |- (-. A e. V -> (rank` A) e. On)
13	9, 12	pm2.61i 126	1 |- (rank` A) e. On

Syntax hints:  -. wn 2   e. wcel 960   =/= wne 1588  E.wrex 1649  {crab 1651  Vcvv 1814   (_ wss 2050  (/)c0 2283  |^|cint 2537  Oncon0 2954  suc csuc 2956  ` cfv 3188  R1cr1 4651  rankcrnk 4652

This theorem is referenced by:  rankr1lem 4683  rankr1 4684  ssrankr1 4686  rankr1a 4687  rankel 4690  rankval3 4691  bndrank 4692  unbndrank 4693  rankpw 4694  rankss 4698  ranksn 4699  rankuni2 4700  rankun 4701  rankpr 4702  r1rankid 4704  rankonid 4705  rankr1id 4707  rankuni 4708  rankr1b 4709  rankuniss 4711  rankval4 4712  rankbnd2 4714  rankc1 4715  rankc2 4716  rankelun 4717  rankelpr 4718  rankelop 4719  rankxplim 4722  rankxplim3 4724  rankxpsuc 4725  scottex 4726  scott0 4727

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-r1 4653  df-rank 4654

Copyright terms: Public domain