Theorem qsexg 4294

Description: A quotient set exists. (Contributed by FL, 19-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qsexg	|- (A e. V -> (A/.R) e. V)

Proof of Theorem qsexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opabex2g 3611	. 2 |- (A e. V -> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. V)
2		rnexg 3359	. 2 |- ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. V -> ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. V)
3		df-rex 1650	. . . . . 6 |- (E.x e. A y = [x]R <-> E.x(x e. A /\ y = [x]R))
4	3	abbii 1575	. . . . 5 |- {y | E.x e. A y = [x]R} = {y | E.x(x e. A /\ y = [x]R)}
5		df-qs 4266	. . . . 5 |- (A/.R) = {y | E.x e. A y = [x]R}
6		rnopab 3353	. . . . 5 |- ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} = {y | E.x(x e. A /\ y = [x]R)}
7	4, 5, 6	3eqtr4r 1506	. . . 4 |- ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} = (A/.R)
8	7	eleq1i 1537	. . 3 |- (ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. V <-> (A/.R) e. V)
9	8	biimp 151	. 2 |- (ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = [x]R)} e. V -> (A/.R) e. V)
10	1, 2, 9	3syl 20	1 |- (A e. V -> (A/.R) e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  E.wrex 1646  Vcvv 1811  {copab 2666  ran crn 3171  [cec 4259  /.cqs 4260

This theorem is referenced by:  qsex 4295  qusp 10555

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-qs 4266

Copyright terms: Public domain