Theorem qmulclt 6209

Description: Closure of multiplication of rationals.

Assertion

Ref	Expression
qmulclt	|- ((A e. QQ /\ B e. QQ) -> (A x. B) e. QQ)

Proof of Theorem qmulclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rcla4eopr 3975	. . . . . . . . . 10 |- (((x x. z) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN /\ (A x. B) = ((x x. z) / (y x. w))) -> E.v e. ZZ E.u e. NN (A x. B) = (v / u))
2	1	3expa 831	. . . . . . . . 9 |- ((((x x. z) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN) /\ (A x. B) = ((x x. z) / (y x. w))) -> E.v e. ZZ E.u e. NN (A x. B) = (v / u))
3		elq 6195	. . . . . . . . 9 |- ((A x. B) e. QQ <-> E.v e. ZZ E.u e. NN (A x. B) = (v / u))
4	2, 3	sylibr 200	. . . . . . . 8 |- ((((x x. z) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN) /\ (A x. B) = ((x x. z) / (y x. w))) -> (A x. B) e. QQ)
5		zmulclt 6127	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ z e. ZZ) -> (x x. z) e. ZZ)
6		nnmulclt 5889	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (y x. w) e. NN)
7	5, 6	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ z e. ZZ) /\ (y e. NN /\ w e. NN)) -> ((x x. z) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN))
8	7	an4s 507	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x x. z) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN))
9	8	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> ((x x. z) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN))
10		opreq12 3955	. . . . . . . . 9 |- ((A = (x / y) /\ B = (z / w)) -> (A x. B) = ((x / y) x. (z / w)))
11		divmuldivt 5736	. . . . . . . . . 10 |- ((((x e. CC /\ y e. CC) /\ (z e. CC /\ w e. CC)) /\ (y =/= 0 /\ w =/= 0)) -> ((x / y) x. (z / w)) = ((x x. z) / (y x. w)))
12		zcnt 6087	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
13		nncnt 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y e. CC)
14	12, 13	anim12i 333	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (x e. CC /\ y e. CC))
15		zcnt 6087	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. ZZ -> z e. CC)
16		nncnt 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w e. CC)
17	15, 16	anim12i 333	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (z e. CC /\ w e. CC))
18	14, 17	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x e. CC /\ y e. CC) /\ (z e. CC /\ w e. CC)))
19		nnne0t 5897	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y =/= 0)
20	19	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> y =/= 0)
21		nnne0t 5897	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w =/= 0)
22	21	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> w =/= 0)
23	20, 22	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (y =/= 0 /\ w =/= 0))
24	11, 18, 23	sylanc 471	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x / y) x. (z / w)) = ((x x. z) / (y x. w)))
25	10, 24	sylan9eqr 1521	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (A x. B) = ((x x. z) / (y x. w)))
26	4, 9, 25	sylanc 471	. . . . . . 7 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (A x. B) e. QQ)
27	26	an4s 507	. . . . . 6 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ A = (x / y)) /\ ((z e. ZZ /\ w e. NN) /\ B = (z / w))) -> (A x. B) e. QQ)
28	27	exp43 384	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (A = (x / y) -> ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (B = (z / w) -> (A x. B) e. QQ))))
29	28	r19.23aivv 1740	. . . 4 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (B = (z / w) -> (A x. B) e. QQ)))
30	29	r19.23advv 1741	. . 3 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> (E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w) -> (A x. B) e. QQ))
31	30	imp 350	. 2 |- ((E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) /\ E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w)) -> (A x. B) e. QQ)
32		elq 6195	. 2 |- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))
33		elq 6195	. 2 |- (B e. QQ <-> E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w))
34	31, 32, 33	syl2anb 455	1 |- ((A e. QQ /\ B e. QQ) -> (A x. B) e. QQ)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  E.wrex 1638  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   x. cmul 5211   / cdiv 5266  NNcn 5268  ZZcz 5270  QQcq 5271

This theorem is referenced by:  qdivclt 6212  qexpclt 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-q 6194

Copyright terms: Public domain