Theorem qdensere 7760

Description: QQ is dense in the standard topology on RR.

Assertion

Ref	Expression
qdensere	|- ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) = RR

Proof of Theorem qdensere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 7665	. . 3 |- (topGen` ran (,)) e. Top
2		qssre 6274	. . 3 |- QQ (_ RR
3		uniretop 7666	. . . . 5 |- U.(topGen` ran (,)) = RR
4	3	eqcomi 1486	. . . 4 |- RR = U.(topGen` ran (,))
5	4	clsss3 7700	. . 3 |- (((topGen` ran (,)) e. Top /\ QQ (_ RR) -> ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) (_ RR)
6	1, 2, 5	mp2an 701	. 2 |- ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) (_ RR
7		reex 5325	. . . . . . . 8 |- RR e. V
8	7	rabex 2738	. . . . . . 7 |- {v e. RR | (z < v /\ v < w)} e. V
9		dfioo2 6353	. . . . . . 7 |- (,) = {<.<.z, w>., x>. | ((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ x = {v e. RR | (z < v /\ v < w)})}
10	8, 9	elrnoprab 4139	. . . . . 6 |- (y e. ran (,) <-> E.z e. RR* E.w e. RR* y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)})
11		iooval2t 6316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> (z(,)w) = {v e. RR | (z < v /\ v < w)})
12	11	eqeq2d 1493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> (y = (z(,)w) <-> y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)}))
13	12	anbi1d 620	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((y = (z(,)w) /\ x e. y) <-> (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)))
14		ioon0t 6318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((z(,)w) =/= (/) <-> z < w))
15		qbtwnxr 6290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. RR* /\ w e. RR* /\ z < w) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w))
16	15	3expia 839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> (z < w -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
17	14, 16	sylbid 203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((z(,)w) =/= (/) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
18		neeq1 1597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (z(,)w) -> (y =/= (/) <-> (z(,)w) =/= (/)))
19		ne0i 2295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. y -> y =/= (/))
20	18, 19	syl5bi 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (z(,)w) -> (x e. y -> (z(,)w) =/= (/)))
21	20	imp 350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y = (z(,)w) /\ x e. y) -> (z(,)w) =/= (/))
22	17, 21	syl5 21	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((y = (z(,)w) /\ x e. y) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
23	13, 22	sylbird 205	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
24	23	imp 350	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w))
25		eleq2 1542	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} -> (x e. y <-> x e. {v e. RR | (z < v /\ v < w)}))
26		qret 6269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. QQ -> x e. RR)
27	26	biantrurd 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. QQ -> ((z < x /\ x < w) <-> (x e. RR /\ (z < x /\ x < w))))
28		breq2 2636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v = x -> (z < v <-> z < x))
29		breq1 2635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v = x -> (v < w <-> x < w))
30	28, 29	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v = x -> ((z < v /\ v < w) <-> (z < x /\ x < w)))
31	30	elrab 1912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. {v e. RR | (z < v /\ v < w)} <-> (x e. RR /\ (z < x /\ x < w)))
32	27, 31	syl6rbbr 542	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. QQ -> (x e. {v e. RR | (z < v /\ v < w)} <-> (z < x /\ x < w)))
33	25, 32	sylan9bb 543	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. QQ) -> (x e. y <-> (z < x /\ x < w)))
34	33	rexbidva 1667	. . . . . . . . . . 11 |- (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} -> (E.x e. QQ x e. y <-> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
35	34	ad2antrl 408	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)) -> (E.x e. QQ x e. y <-> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
36	24, 35	mpbird 196	. . . . . . . . 9 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)) -> E.x e. QQ x e. y)
37		incom 2217	. . . . . . . . . . . 12 |- (y i^i QQ) = (QQ i^i y)
38	37	eqeq1i 1489	. . . . . . . . . . 11 |- ((y i^i QQ) = (/) <-> (QQ i^i y) = (/))
39		disj 2321	. . . . . . . . . . 11 |- ((QQ i^i y) = (/) <-> A.x e. QQ -. x e. y)
40		ralnex 1660	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. QQ -. x e. y <-> -. E.x e. QQ x e. y)
41	38, 39, 40	3bitr 177	. . . . . . . . . 10 |- ((y i^i QQ) = (/) <-> -. E.x e. QQ x e. y)
42	41	necon2abii 1627	. . . . . . . . 9 |- (E.x e. QQ x e. y <-> (y i^i QQ) =/= (/))
43	36, 42	sylib 198	. . . . . . . 8 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)) -> (y i^i QQ) =/= (/))
44	43	exp32 379	. . . . . . 7 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} -> (x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/))))
45	44	r19.23aivv 1755	. . . . . 6 |- (E.z e. RR* E.w e. RR* y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} -> (x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/)))
46	10, 45	sylbi 199	. . . . 5 |- (y e. ran (,) -> (x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/)))
47	46	rgen 1705	. . . 4 |- A.y e. ran (,)(x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/))
48		retopbas 7664	. . . . 5 |- ran (,) e. Bases
49		eqid 1482	. . . . . 6 |- (topGen` ran (,)) = (topGen` ran (,))
50	1, 4	pm3.2i 285	. . . . . . 7 |- ((topGen` ran (,)) e. Top /\ RR = U.(topGen` ran (,)))
51	50	pm3.27i 324	. . . . . 6 |- RR = U.(topGen` ran (,))
52	49, 51	elcls3 7720	. . . . 5 |- ((ran (,) e. Bases /\ QQ (_ RR /\ x e. RR) -> (x e. ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) <-> A.y e. ran (,)(x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/))))
53	48, 2, 52	mp3an12 910	. . . 4 |- (x e. RR -> (x e. ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) <-> A.y e. ran (,)(x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/))))
54	47, 53	mpbiri 194	. . 3 |- (x e. RR -> x e. ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ))
55	54	ssriv 2078	. 2 |- RR (_ ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ)
56	6, 55	eqssi 2087	1 |- ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) = RR

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 960   e. wcel 962   =/= wne 1592  A.wral 1652  E.wrex 1653  {crab 1655   i^i cin 2055   (_ wss 2056  (/)c0 2289  U.cuni 2515   class class class wbr 2632  ran crn 3185  ` cfv 3196  (class class class)co 3977  RRcr 5246  QQcq 5312  RR*cxr 5498   < clt 5499  (,)cioo 6306  Topctop 7603  Basesctb 7605  topGenctg 7606  clsccl 7671

This theorem is referenced by:  qdensere2 7925

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-iin 2581  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-n 5931  df-n0 6106  df-z 6142  df-q 6266  df-ioo 6310  df-top 7607  df-bases 7609  df-topgen 7610  df-cld 7672  df-ntr 7673  df-cls 7674

Copyright terms: Public domain